结论：连续在两个事业单位工作，第二个事业单位入职第一年是否可以请探亲假，需根据具体情况判断，若满足连续工作满一年且与配偶或父母不住在一起又不能在公休假日团聚的条件，则可以请探亲假；若不满足上述条件，则不可以请。以下为详细分析：
探亲假的基本条件
根据相关规定，职工享受探亲假需要满足以下条件：
- 主体条件：只有在国家机关、人民团体和全民所有制企业、事业单位工作满一年的固定职工才可以享受探亲假。
- 时间条件：与配偶或父母不住在一起，又不能在公休假日团聚的，可以享受探亲假。这里的“不能在公休假日团聚”是指不能利用公休假日在家居住一夜和休息半个白天的。
- 期限条件：职工与父亲或母亲都不住在一起，又不能在公休假日团聚的，如果职工与父亲或与母亲一方能够在公休假日团聚的，不能享受探亲假。未婚职工探望父母的，原则上每年给假一次，假期为二十天；已婚职工探望父母的，每四年给假一次，假期为二十天。
针对您情况的具体分析
连续工作年限：
- 您提到连续在两个事业单位工作，关键在于是否满足“连续工作满一年”的条件。如果您在第一个事业单位的工作时间加上第二个事业单位的工作时间累计满一年，且两个单位之间的工作是连续的（没有中断或间隔），那么通常可以认为满足连续工作满一年的条件。但具体还需看两个单位之间的劳动关系转移情况，以及是否有相关证明文件（如工作证明、社保缴纳记录等）来支持这一点。
与配偶或父母不住在一起且不能在公休假日团聚：
- 这是享受探亲假的另一个核心条件。如果您与配偶或父母不住在一起，并且由于工作原因不能在公休假日团聚，那么您就有资格申请探亲假。
建议与注意事项
核实工作年限：
- 建议您核实自己在两个事业单位的工作年限是否累计满一年，并准备好相关证明文件。
了解单位政策：
- 不同的事业单位可能对探亲假的具体执行有不同的规定或解释。因此，在申请探亲假前，建议您先了解所在单位的具体政策。
提前申请并沟通：
- 如果您满足享受探亲假的条件，建议您提前向单位提出申请，并与单位进行充分沟通，以确保申请能够得到顺利批准。
保留相关证据：
- 在申请探亲假的过程中，建议您保留好相关证据（如工作证明、社保缴纳记录、与配偶或父母的居住证明等），以备不时之需。
如果您在申请探亲假的过程中遇到任何问题或困难，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。