结论：醉驾被判刑一个月后，通常情况下会有犯罪记录，但在特定条件下可以申请开具无犯罪记录证明。

详细分析：

1. 犯罪记录的定义与影响：

   • 犯罪记录，通常指的是一个人因犯罪行为被法院判决有罪后，留下的法律记录。这种记录会伴随个人一生，并在某些情况下（如求职、出国等）可能产生不利影响。
   • 醉驾，即醉酒驾驶机动车，是一种严重的交通违法行为，如果构成危险驾驶罪，会被法院判决有罪，从而留下犯罪记录。

2. 无犯罪记录证明的开具条件：

   • 无犯罪记录证明，通常用于证明个人在一定时期内没有犯罪记录。然而，对于已经被法院判决有罪的人，一般情况下是无法开具无犯罪记录证明的。
   • 但存在一些特殊情况，如犯罪时不满十八周岁被判处五年有期徒刑以下刑罚，或者根据国家有关法律规定不予追究刑事责任的，可以申请出具无犯罪记录证明。不过，醉驾通常不属于这些特殊情况。
   • 例外情形：根据《关于建立犯罪人员犯罪记录制度的意见》及相关规定，若醉驾行为未达到刑事立案标准（如血液酒精含量未达醉驾标准、未造成实际损害且情节显著轻微），或法院最终判决无罪、免予刑事处罚，则可能不产生犯罪记录。但您已明确提到“判了一个月”，说明已构成刑事犯罪。

3. 醉驾被判刑后的实际情况：

   • 既然您已经被判刑一个月，这意味着法院已经认定您构成危险驾驶罪，并作出了有罪判决。因此，在一般情况下，您是无法开具无犯罪记录证明的。
   • 不过，如果您认为判决存在错误或存在其他特殊情况（如判决后发现新证据证明无罪等），您可以通过法律途径进行申诉或申请再审。但这种情况非常罕见，且需要充分的证据支持。

4. 法律建议与后续行动：

   • 如果您确实需要开具无犯罪记录证明（如用于某些特定职业的申请或出国等），但您又有醉驾被判刑的记录，那么您可能需要考虑其他方式来证明自己的品行和能力，如提供工作表现证明、社区服务记录等。
   • 同时，我也建议您咨询当地公安机关或相关部门，了解具体的开具无犯罪记录证明的政策和流程，以及是否有其他可能的解决方案。

总结与提醒： 醉驾被判刑一个月后，通常情况下会有犯罪记录，且难以开具无犯罪记录证明。但如果您认为判决存在错误或有其他特殊情况，可以通过法律途径进行申诉。同时，我也建议您在未来的生活中遵守法律法规，避免再次发生类似行为。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。