结论：医院发生医疗事故后，家属要求赔偿，医院在法律上是可以通过协商（即“私了”）的方式与家属解决纠纷的，但需谨慎处理，确保协议的合法性和公平性，并建议家属在协商前充分了解自身权益和事故情况。
一、和解的可行性与法律依据
可行性：医疗事故发生后，医患双方基于平等、自愿的原则，可以就事故的处理自行协商。这是当事人对自身民事权利的合法处分，法律并不禁止。
法律依据：根据《医疗事故处理条例》第四十六条，发生医疗事故的赔偿等民事责任争议，医患双方可以协商解决；不愿意协商或者协商不成的，当事人可以向卫生行政部门提出调解申请，也可以直接向人民法院提起民事诉讼。
二、和解的注意事项与风险
协议合法性：
- 和解协议内容必须遵守法律、行政法规的强制性规定，不得损害国家、集体和他人的合法权益。
- 协议中不能免除医疗机构及其医务人员的法定责任，也不能包含显失公平的赔偿条款。
明确事故性质和责任：
- 在协商前，应对医疗事故的原因、等级、责任程度等有清晰的认识。这通常需要专业的医疗鉴定或评估。
- 盲目私了可能导致患者的合法权益得不到充分保障，如因不了解损伤程度而接受不合理的低额赔偿。
签订书面协议：
- 达成和解意向后，应签订详细的书面协议，包括双方当事人信息、事故原因、认定的医疗事故等级及赔偿数额等，并由双方签字确认。
- 书面协议有助于避免后续纠纷，确保双方权益得到保障。
重大误解或显失公平可撤销：
- 若和解协议存在重大误解或显失公平，当事人在法定期限内有权向人民法院请求撤销该协议。
三、不建议盲目“私了”的理由
赔偿不全面：
- 医疗事故的赔偿涉及多个复杂方面，如医疗费、误工费、护理费、营养费、残疾赔偿金、死亡赔偿金等，需要专业评估。
- 家属若缺乏相关法律知识，可能在协商中处于劣势，导致赔偿金额远低于实际损失。
法律隐患：
- 私下达成的协议可能存在漏洞或不明确之处，容易引发后续法律纠纷。
- 一旦产生争议，家属可能需要再次寻求法律援助，增加时间和精力的耗费。
正规途径更有保障：
- 通过向卫生行政部门投诉或向人民法院提起诉讼等正规途径解决医疗事故纠纷，家属可以获得专业的法律支持和援助，确保自己的权益得到充分保护。
四、建议行动步骤
立即行动，固定证据：
- 家属应要求医院封存全部病历资料，包括主观和客观病历，并拿到复印件。
- 保存好一切相关记录与资料，如影像资料、监控录像等。
寻求专业分析：
- 在拿到证据后，建议家属咨询专业律师，让律师帮忙研判医疗行为是否存在过错，以及过错的程度。
- 律师可以提供专业的意见，帮助家属确定解决纠纷的途径和策略。
考虑和解或正规途径：
- 如果家属认为和解是可行的，并且与医院达成了初步意向，应确保协议内容合法、公平，并签订书面协议。
- 如果协商不成或存在重大争议，家属可以考虑申请医疗事故技术鉴定、向卫生行政部门投诉或提起民事诉讼等正规途径解决纠纷。
作为马昭鹏律师，我建议家属在处理医疗事故纠纷时保持冷静理性，充分了解自身权益和事故情况，谨慎选择解决方式。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。