结论：关于“老人在敬老院把另一老人推倒致命，其儿子是否应承担法律责任”的问题，这主要取决于推倒老人的行为能力、行为性质以及儿子是否存在过错等多个因素。以下是从不同角度进行的详细分析：
行为能力角度：
- 如果推倒老人的老人是完全民事行为能力人，即能够完全辨认自己的行为后果，那么其应当对自己的行为负责，儿子通常不需要承担法律责任，除非儿子存在教唆、帮助等共同侵权行为。
- 如果推倒老人的老人是无民事行为能力人或限制民事行为能力人，即不能辨认或不能完全辨认自己的行为后果，那么其监护人（可能是儿子或其他法定监护人）可能需要承担相应的法律责任。但具体责任需根据监护人的过错程度、是否尽到监护职责等因素来确定。
行为性质角度：
- 如果推倒老人的行为是故意的，且造成了致命后果，那么推倒老人的老人可能构成故意伤害罪或故意杀人罪，需要承担刑事责任。此时，儿子作为亲属，除非存在共同犯罪或包庇等行为，否则一般不需要承担刑事责任。但儿子可能需要承担一定的民事赔偿责任，如赔偿受害人家属的丧葬费、死亡赔偿金等，这取决于儿子是否继承了推倒老人的遗产以及遗产的多少。
- 如果推倒老人的行为是过失的，即推倒老人没有故意伤害或杀人的意图，但因疏忽大意或过于自信而导致他人死亡，那么推倒老人的老人可能构成过失致人死亡罪，需要承担刑事责任。同样地，儿子作为亲属，除非存在特定情况（如继承遗产并需承担民事赔偿），否则一般不需要承担刑事责任。
儿子过错角度：
- 如果儿子作为推倒老人的监护人或存在其他特定关系（如敬老院的管理人员），且未尽到相应的监护或管理职责，导致推倒老人能够实施伤害行为并造成致命后果，那么儿子可能需要承担一定的法律责任。这种责任可能是民事赔偿责任，也可能是行政责任（如敬老院管理人员可能因管理不善而受到行政处罚），具体取决于儿子的过错程度和法律规定。
法律建议：
- 在此类情况下，建议首先报警并由公安机关进行调查，以确定推倒老人的行为性质、行为能力以及是否存在其他相关因素。
- 如果推倒老人的老人是无民事行为能力人或限制民事行为能力人，且儿子是其监护人，那么儿子应尽快采取措施防止类似事件再次发生，并积极配合公安机关的调查工作。
- 如果儿子认为自身可能涉及法律责任，建议及时咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。
可能法律后果：
- 根据推倒老人的行为性质和行为能力，推倒老人的老人可能面临刑事责任或民事赔偿责任的追究。
- 儿子作为亲属或监护人，可能因未尽到相应职责而承担一定的民事赔偿责任或行政责任。但具体责任需根据案件事实和法律规定来确定。
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