结论：女性60岁员工被不签合同的老板辞退，这一行为是否违法需分情况讨论，但不签订劳动合同本身就违反了《劳动合同法》的相关规定，且辞退行为可能构成违法解除劳动合同。

详细分析：

1. 关于不签订劳动合同：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条：“建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。”
   • 老板未与员工签订劳动合同，已经违反了上述法律规定。员工有权要求老板自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日，每月支付两倍的工资（但最多不超过十一个月的两倍工资）。

2. 关于辞退行为：

   • 辞退是否违法，取决于辞退的理由和程序。如果老板无正当理由（如员工严重违反公司规章制度、不能胜任工作等，且这些理由需有充分证据支持）辞退员工，或者辞退程序不合法（如未提前通知、未支付经济补偿等），则构成违法解除劳动合同。
   • 对于违法解除劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。”即员工有权要求老板继续履行劳动合同，或者要求老板支付赔偿金（通常为经济补偿的两倍）。

3. 关于女性60岁员工的特殊情况：

   • 女性60岁通常已达到法定退休年龄（具体以当地政策为准）。如果员工已经享受养老保险待遇或领取退休金，那么她与老板之间可能不再构成劳动关系，而是劳务关系。在这种情况下，不签订劳动合同可能不构成违法，但辞退行为仍需根据双方之间的劳务合同或约定来判断是否合法。
   • 如果员工虽然达到60岁，但并未享受养老保险待遇或领取退休金，且继续为老板提供劳动，那么她与老板之间仍然构成劳动关系。此时，不签订劳动合同和违法辞退的行为仍然适用上述《劳动合同法》的相关规定。

建议：

• 对于员工而言，如果认为自己被违法辞退，可以收集相关证据（如工作证、工资条、考勤记录等）向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求老板支付未签订劳动合同的双倍工资差额、违法解除劳动合同的赔偿金等。
• 对于老板而言，应尽快与员工签订书面劳动合同，并确保辞退行为合法合规，以避免不必要的法律纠纷和损失。

后续行动：

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