结论前置：第一次起诉离婚后对方不支付抚养费，是可以在第二次起诉时主张的。以下从多个角度为你详细分析：

法律背景与依据

在离婚诉讼中，抚养费的支付是法律明确规定的义务。根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条规定：“离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。”这意味着，无论是否在第一次起诉离婚时明确提出抚养费问题，只要离婚后一方未履行支付抚养费的义务，另一方都有权在后续的法律程序中主张。

实际操作中的情况

1. 第一次起诉未主张抚养费：如果在第一次起诉离婚时，由于各种原因（如双方协商一致、法院未主动介入等）未提及抚养费问题，或者虽然提及但未得到妥善解决，这并不影响后续主张抚养费的权利。在第二次起诉时，你可以明确提出要求对方支付抚养费的请求，并附上相关证据（如子女的实际开支、对方的收入情况等），以支持你的主张。
2. 第一次起诉已主张但未执行：如果在第一次起诉离婚时，法院已经判决对方支付抚养费，但对方未履行判决，你可以在第二次起诉时，除了主张新的抚养费请求外，还可以要求法院对之前的判决进行强制执行。这通常涉及到申请执行程序，你需要向法院提交执行申请书和相关证据，法院将依法对被执行人的财产进行查封、扣押或拍卖等措施，以强制其履行支付抚养费的义务。

法律建议与注意事项

1. 保留证据：在主张抚养费的过程中，保留好与子女开支、对方收入等相关的证据至关重要。这些证据将有助于证明你的主张合理且必要，增加法院支持你请求的可能性。
2. 及时主张权利：一旦发现对方未履行支付抚养费的义务，应及时通过法律途径主张权利。拖延时间可能会导致证据丢失或对方财产转移等不利后果。
3. 考虑子女利益：在主张抚养费时，应始终将子女的利益放在首位。确保所主张的抚养费金额合理且能够满足子女的实际需求，避免过高或过低的请求对子女造成不利影响。

可能的法律后果

如果对方在法院判决后仍不履行支付抚养费的义务，除了可能面临强制执行措施外，还可能被法院列入失信被执行人名单，对其信用记录产生负面影响。此外，如果情节严重构成拒不执行判决、裁定罪的，还可能面临刑事处罚。

总结：第一次起诉离婚后对方不支付抚养费，你完全有权在第二次起诉时主张。在主张过程中，请务必保留好相关证据，及时主张权利，并始终将子女的利益放在首位。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。