劳动仲裁裁决书下达后，当事人若对裁决结果不服，确实还有进一步的法律救济途径，但需根据裁决类型（终局裁决或非终局裁决）在规定的期限内向人民法院提起诉讼或申请撤销。以下是详细的解答：

一、上诉期限与裁决类型

1. 终局裁决：

   • 劳动者：若对终局裁决不服，可自收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
   • 用人单位：用人单位仅在存在法定情形时（如适用法律错误、无管辖权、违反法定程序、证据伪造、隐瞒关键证据、仲裁员不当行为等），可自收到仲裁裁决书之日起三十日内向劳动争议仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销裁决。

2. 非终局裁决：

   • 无论是用人单位还是劳动者，若对非终局裁决不服，均可自收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。

二、上诉流程

1. 准备起诉材料：

   • 起诉状：需详细记明原被告基本信息、诉讼请求、事实与理由。
   • 证据材料：整理仲裁阶段提交的证据，并附上可能影响案件结果的新证据。
   • 身份证明：原告需提供身份证原件及复印件；用人单位需提供营业执照副本复印件及法定代表人身份证明。
   • 仲裁裁决书副本：提供原件及复印件，以证明已经过仲裁前置程序。

2. 确定管辖法院：

   • 一般为劳动合同履行地或用人单位所在地的基层人民法院。特殊情况下，根据法律规定确定。

3. 提交诉状与缴纳费用：

   • 将起诉材料提交至有管辖权的人民法院立案庭，并按要求缴纳诉讼费用（劳动争议案件每件交纳10元）。

4. 等待法院受理与开庭：

   • 法院对起诉材料进行审查，符合起诉条件的将立案，并通知当事人开庭时间。
   • 当事人需按时到庭参加庭审，进行陈述、举证、质证和辩论。

5. 等待判决与后续行动：

   • 法院根据审理情况作出判决，当事人需遵守。
   • 若对一审判决不服，可在规定期限内向上一级人民法院提起上诉。

三、注意事项

1. 确保上诉期限：务必在规定的十五日内（或用人单位的三十日内）提起诉讼或申请撤销，否则将丧失上诉权利。
2. 证据真实完整：提供的证据材料应真实、完整，以有效支持自己的主张。
3. 了解法律后果：若未在规定期限内提起诉讼或申请撤销，仲裁裁决将发生法律效力，当事人需履行裁决内容。

四、特殊情况处理

• 对于特定类型的劳动争议（如追索劳动报酬、工伤医疗费等且金额不超过当地月最低工资标准十二个月），仲裁裁决为终局裁决。若裁决存在法定撤销情形，用人单位仍可依法申请撤销。

举例说明：假设小张因劳动报酬问题与公司发生争议，并申请了劳动仲裁。仲裁裁决公司需支付小张拖欠的工资。若该裁决为终局裁决，小张对裁决结果满意则无需进一步行动；若公司认为裁决存在错误，则可在收到裁决书之日起三十日内向中级人民法院申请撤销。若裁决为非终局裁决，小张或公司任何一方对裁决不服，均可在收到裁决书之日起十五日内向基层人民法院提起诉讼。

总结建议：劳动仲裁裁决书下来后，当事人应根据裁决类型和自身情况，在规定期限内遵循相应的上诉流程及注意事项。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。