结论：在没有证据证明邻居弄死了您老家的树的情况下，您不能随意砍伐该树，否则可能面临法律责任。以下是从不同角度的详细分析：
一、法律角度
物权保护：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，您对老家的树享有物权，即所有权。然而，当您认为自己的物权受到侵害时（如树被邻居弄死），应当通过合法途径来维护自己的权益，而不是采取私力救济的方式。
- 随意砍伐树木，即使您认为该树已不属于您（或已被邻居弄死），也可能构成对他人财产权的侵害，特别是如果邻居对该树有某种权益（如误认为树属于他们或树对他们的环境有积极影响等）。
证据规则：
- 在法律程序中，证据是认定事实的基础。如果您没有证据证明邻居弄死了您的树，那么您的主张可能无法得到法律的支持。
- 砍伐树木的行为，如果没有合法依据，可能被视为故意毁坏财物，需要承担相应的法律责任。
二、实际操作角度
调查取证：
- 在采取任何行动之前，您应该尽力收集证据来证明邻居弄死了您的树。这可能包括寻找目击者、拍摄照片或视频、寻求专业鉴定等。
- 如果您能够收集到足够的证据，那么您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益，如向法院提起诉讼要求邻居赔偿损失。
协商解决：
- 在证据不足或法律程序复杂的情况下，您可以考虑与邻居进行协商解决。通过友好沟通，您可能能够达成一个双方都能接受的解决方案，如邻居赔偿部分损失或共同承担修复费用等。
避免私力救济：
- 无论情况如何，您都应该避免采取私力救济的方式来解决纠纷。私力救济往往容易导致矛盾升级和法律责任的产生。
三、法律后果
民事责任：
- 如果您随意砍伐树木并构成对他人财产权的侵害，您可能需要承担民事赔偿责任，包括赔偿邻居因此遭受的损失等。
行政责任：
- 在某些情况下，随意砍伐树木还可能违反地方性法规或行政规章的规定，需要承担行政责任，如罚款、没收违法所得等。
建议：在没有证据证明邻居弄死了您的树的情况下，我建议您不要随意砍伐该树。相反，您应该尽力收集证据来证明自己的主张，并通过合法途径来维护自己的权益。如果您需要进一步的法律帮助或建议，请随时向我咨询。