可以追责，但能否成功追责取决于养老院是否存在过错以及过错与损害结果之间的因果关系。以下从不同角度进行分析：

一、法律关系分析

1. 养老院与半身不遂老人之间的关系：

   • 养老院作为服务提供者，与老人之间形成了服务合同关系。根据合同约定，养老院有义务为老人提供安全、健康的生活环境，并在老人出现紧急情况时及时采取救助措施。

2. 养老院的义务：

   • 养老院不仅负有合同上的义务，还负有法律上的安全保障义务。这包括确保老人的人身安全，以及在老人突发疾病或受伤时，及时联系医疗机构进行救治。

二、追责的法律依据

1. 《民法典》侵权责任编：

   • 根据《民法典》的相关规定，如果养老院未尽到安全保障义务，导致老人受到损害的，应当承担侵权责任。这包括因养老院未及时打急诊电话，导致老人病情加重或错过最佳治疗时机的情况。

2. 《消费者权益保护法》：

   • 如果将养老院的服务视为一种消费服务，那么老人作为消费者，其合法权益受到《消费者权益保护法》的保护。养老院未履行及时救助义务，可能构成对消费者权益的侵害。

三、追责的关键要素

1. 过错认定：

   • 要追责，首先需要证明养老院存在过错。这包括证明养老院未按照合同约定或法律规定履行及时救助义务，以及这种未履行义务与老人损害结果之间存在因果关系。

2. 证据收集：

   • 收集证据是追责的关键。这包括养老院的监控录像、医护人员的证言、老人的医疗记录等。这些证据可以证明养老院是否及时采取了救助措施，以及老人的病情变化情况。

四、可能的法律后果

1. 民事赔偿：

   • 如果养老院被认定存在过错，那么它可能需要承担民事赔偿责任，包括赔偿老人的医疗费用、护理费用、精神损害抚慰金等。

2. 行政处罚：

   • 除了民事赔偿外，养老院还可能面临行政处罚，如罚款、停业整顿等。这取决于养老院的过错程度以及相关法律法规的规定。

五、建议与行动

1. 及时收集证据：

   • 建议家属尽快收集相关证据，包括养老院的监控录像、医护人员的证言、老人的医疗记录等。这些证据将有助于证明养老院的过错和老人的损害结果。

2. 咨询专业律师：

   • 在收集证据的同时，建议家属咨询专业律师，了解具体的法律程序和追责策略。律师可以根据具体情况提供法律意见，并帮助家属制定合适的追责方案。

3. 与养老院协商或提起诉讼：

   • 在收集足够证据并咨询专业律师后，家属可以与养老院进行协商，寻求和解或赔偿。如果协商无果，家属可以考虑向法院提起诉讼，要求养老院承担法律责任。

总结来说，如果养老院未及时打急诊电话导致老人受到损害，家属是有权追责的。但能否成功追责取决于养老院是否存在过错以及过错与损害结果之间的因果关系。因此，建议家属及时收集证据并咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。