针对行政机关如何处理要求拆除违建的履职申请这一问题，核心结论是行政机关需依法进行审查、调查核实，并根据不同情况作出相应处理。具体处理流程和要点如下：

1. 接收与初步审查
   行政机关收到履职申请后，首先需对申请材料进行形式审查，确认申请是否符合法定要求（如申请人资格、申请事项是否属于行政机关职权范围、材料是否齐全等）。若申请材料不完整，应一次性告知申请人补正；若明显不属于本机关职责，应告知申请人向有权机关提出。

2. 调查核实违建事实
   行政机关需对申请中反映的违建情况进行实地调查，核实以下内容：

   • 建筑物是否确实存在违法建设行为（如未取得建设工程规划许可证、超出许可范围建设等）；
     
   • 违建的具体位置、面积、结构及现状；
     
   • 违建是否对规划实施、公共利益或他人合法权益造成影响。
     调查过程中，行政机关可要求申请人提供证据（如照片、视频、规划图纸等），也可自行调取相关材料（如规划许可记录、现场勘验笔录等）。

3. 分类处理与决定
   根据调查结果，行政机关需区分不同情形作出处理：

   • 若违建事实成立且需拆除：行政机关应依法作出《责令限期拆除决定书》，明确违建事实、法律依据、拆除期限及救济途径，并送达当事人。若当事人逾期未自行拆除，行政机关可依法强制拆除或申请法院强制执行。
     
   • 若违建事实不成立或无需拆除：行政机关应书面告知申请人调查结果及理由，并说明不予拆除的依据（如建筑物已补办手续、符合规划要求或属于历史遗留问题等）。
     
   • 若违建涉及复杂法律问题或需其他部门协同处理：行政机关可启动联合执法机制，协调规划、城管、消防等部门共同处理，或依法移送有权机关处理。

4. 救济途径告知
   行政机关在作出处理决定时，需明确告知申请人或违建当事人享有行政复议或行政诉讼的权利，并说明申请期限和受理机关。若申请人对处理结果不服，可依法申请复议或提起诉讼，行政机关应配合提供相关证据材料。

5. 特殊情形处理

   • 历史遗留违建：若违建形成于特定历史时期（如规划调整前），行政机关需结合地方政策综合判断，避免简单化处理。
     
   • 涉及公共利益：若违建涉及学校、医院等公共设施，行政机关需权衡拆除与公共利益的关系，必要时可采取补办手续、罚款保留等替代措施。
     
   • 当事人拒不配合：若当事人拒绝接受调查或阻挠执法，行政机关可依法采取强制措施（如查封现场、证据保全等），并记录在案作为后续处理的依据。

温馨提示：若您是履职申请的提交人或违建当事人，对行政机关的处理结果有疑问，可直接向我咨询具体法律问题（如处理程序是否合法、决定依据是否充分等），我会结合您的实际情况提供详细解答。