结论：伪造公司项目章签合同，公司是否承担责任需分情况讨论，主要取决于公司是否追认、相对人是否善意以及公司是否存在管理过失等因素。以下从不同角度进行详细分析：

1. 公司追认的情况

   • 法律背景：根据《民法典》的相关规定，行为人没有代理权、超越代理权或者代理权终止后，仍然实施代理行为，未经被代理人追认的，对被代理人不发生效力。但是，如果公司事后对伪造项目章签订的合同进行了追认，那么该合同将对公司产生法律效力，公司需要承担相应的合同责任。
   • 例子：假设某员工伪造公司项目章与第三方签订了一份采购合同，公司事后发现并明确表示认可该合同，那么公司就需要按照合同约定履行采购义务，并承担相应的法律责任。

2. 相对人善意且无过失的情况

   • 法律背景：如果相对人在签订合同时是善意的，即不知道也不应当知道行为人伪造了公司项目章，并且相对人没有过失，那么根据表见代理的原则，公司可能需要承担合同责任。这是因为表见代理旨在保护善意相对人的利益，维护交易安全。
   • 例子：某供应商在与公司员工签订合同时，该员工出示了看似真实的项目章，供应商无法辨别其真伪，且没有理由怀疑该章是伪造的。在这种情况下，如果合同内容对公司不利，但供应商是善意的，公司可能需要承担合同责任。然而，如果公司能够证明供应商存在过失（如未尽到合理的审查义务），则公司可能不承担责任。

3. 公司存在管理过失的情况

   • 法律背景：如果公司对项目章的管理存在过失，如未妥善保管项目章、未建立有效的印章使用制度等，导致员工能够轻易伪造或盗用项目章签订合同，那么公司可能需要承担一定的管理责任。这种责任可能表现为对合同相对方的部分或全部赔偿，具体取决于公司的过失程度以及合同相对方的损失情况。
   • 例子：某公司未对项目章进行严格管理，员工可以随意取用。该员工伪造项目章与第三方签订了一份高额合同，导致公司遭受重大损失。在这种情况下，公司可能需要承担一定的管理责任，因为公司未尽到对印章的妥善保管义务。

4. 公司不承担责任的情况

   • 法律背景：如果公司能够证明合同是员工伪造项目章签订的，且公司未追认该合同，同时相对人知道或应当知道该章是伪造的，或者相对人存在过失，那么公司不需要承担合同责任。
   • 例子：某员工伪造公司项目章与第三方签订了一份合同，但公司在发现后立即向第三方声明该合同无效，并提供了充分的证据证明该章是伪造的。同时，第三方在签订合同时也存在过失，如未对印章的真实性进行核实。在这种情况下，公司不需要承担合同责任。

法律建议：

• 对于公司而言，应加强对项目章等重要印章的管理，建立严格的印章使用制度，防止员工伪造或盗用印章签订合同。
• 对于合同相对方而言，在签订合同时应尽到合理的审查义务，核实对方印章的真实性以及对方的代理权限，以降低交易风险。
• 如果发生伪造公司项目章签订合同的情况，双方应及时咨询专业律师，了解自身的权利和义务，并采取相应的法律措施维护自身权益。

可能后果：

• 如果公司承担了不应承担的合同责任，可能会导致公司经济损失、声誉受损等后果。
• 如果合同相对方因公司不承担责任而遭受损失，可能会通过法律途径追究公司的责任，要求公司进行赔偿。因此，双方都应谨慎对待合同签订过程，确保合同的合法性和有效性。

如有任何进一步的问题或需要更具体的法律建议，请直接向我咨询。