城管部门在去年七月底回复函后，于今年五月初突然出具限期整改通知书，这一行为是否合法，需结合具体情况从多个角度进行分析：

1. 法律依据与程序合法性：

   • 城管部门出具限期整改通知书，必须基于明确的法律依据，并遵循法定程序。这包括但不限于对违法事实的认定、证据的收集、告知当事人陈述申辩权、举行听证（如依法应当听证）等。若城管部门在出具限期整改通知书前，未充分履行这些程序，或者程序存在严重瑕疵，如未依法送达、未告知当事人相关权利等，则该行为可能因程序违法而不合法。
   • 此外，若城管部门在出具限期整改通知书时，所依据的法律、法规、规章或政策已经发生变动，且原行为赖以存在的规范基础不复存在，继续实施该行为将与新的法律规范或政策相抵触，那么该行为也可能因法律依据变动而不合法。

2. 行为内容的合理性：

   • 限期整改通知书的内容必须合理，即所设定的整改期限、整改要求等应当符合实际情况，具有可操作性。若城管部门设定的整改期限过短，或者整改要求过高，导致当事人无法在规定期限内完成整改，那么该行为可能因内容不合理而不合法。
   • 同时，城管部门在出具限期整改通知书时，应当充分考虑当事人的实际情况和合法权益，避免对当事人造成不必要的损失或困扰。

3. 行为之间的连贯性与一致性：

   • 城管部门在去年七月底的回复函与今年五月初的限期整改通知书之间，应当存在一定的连贯性和一致性。若回复函中已经对相关问题进行了处理或明确表示不再处理，而城管部门又突然出具限期整改通知书，且未给出合理的解释或依据，那么该行为可能因缺乏连贯性和一致性而不合法。
   • 另一方面，如果回复函中只是提出了某些建议或要求，并未对相关问题作出最终处理决定，那么城管部门在后续根据实际情况出具限期整改通知书，可能是合法的。

4. 可能的法律后果：

   • 如果城管部门出具的限期整改通知书被认定为不合法，那么该行为可能自始无效，对当事人不产生法律约束力。当事人有权拒绝履行该行为所设定的义务，且不履行不构成违法，亦不承担任何法律责任。
   • 同时，如果因城管部门的不合法行为给当事人造成了损失，当事人还有权要求城管部门承担相应的赔偿责任。

针对您的情况，我建议您：

• 首先，仔细审查城管部门出具的限期整改通知书及其相关依据，包括法律依据、程序合法性、内容合理性等方面。
• 其次，如果认为该行为不合法或存在争议，可以及时向城管部门提出异议或申请行政复议，要求城管部门撤销或修改该行为。
• 最后，如果无法通过协商或行政复议解决争议，还可以考虑向人民法院提起行政诉讼，通过司法途径维护自己的合法权益。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。