母亲不可以单方面申请老二改名改姓。以下从不同角度进行分析：

1. 法律对姓名变更的规定：

   • 根据《中华人民共和国户口登记条例》以及相关司法解释，未成年子女的姓名变更通常需要父母双方协商一致。这是因为姓名权虽然属于公民个人，但未成年子女的姓名变更涉及父母双方的权益，也关系到子女的身份认同和社会关系稳定。
   • 即使父母一方因犯罪行为被追究责任，这并不直接赋予另一方单方面变更子女姓名的权利。法律在处理此类问题时，依然会优先考虑保护未成年子女的利益，同时兼顾父母双方的合法权益。

2. 特殊情况下的处理：

   • 如果父亲因杀害老大这一极端行为被依法剥夺监护权，或者存在其他严重损害子女利益的行为，母亲作为另一方监护人，可以依法向法院申请变更监护权。但在变更监护权的过程中，并不直接包含姓名变更的内容。
   • 若母亲希望变更老二的姓名，仍需与父亲协商。如果父亲同意，双方可以共同到公安机关办理姓名变更手续。如果父亲不同意，母亲不能单方面申请变更，除非能证明变更姓名对老二的成长有重大且紧迫的利益，且这种变更不会损害老二的合法权益。这种情况在实践中极为罕见，且需要法院的特别裁定。

3. 实际操作中的建议：

   • 母亲应首先尝试与父亲沟通，说明变更姓名的理由和考虑，争取达成一致意见。
   • 如果沟通无果，且母亲认为变更姓名对老二的成长确实有利，可以寻求法律援助或咨询专业律师，了解具体的法律程序和可能的解决方案。
   • 在任何情况下，都应优先考虑老二的利益和感受，避免因姓名变更问题给老二带来不必要的心理压力和困扰。