结论：作为第二继承人，在处理银行卡内剩余50多元且密码不对的情况时，是否需要公证及交钱，取决于多个因素，包括银行的具体规定、继承程序的启动以及是否涉及其他继承人等。以下是对此问题的详细分析：
一、银行规定与继承程序
银行规定：
- 不同银行对于继承人提取已故存款人账户内资金的规定可能有所不同。一些银行可能要求继承人提供公证文件或其他法律文件，以证明其继承权，尤其是当账户内资金超过一定限额时（尽管50多元通常不会达到这个限额，但银行政策可能有所不同）。
- 如果银行要求公证，那么继承人需要前往公证处办理继承权公证，这通常需要支付一定的公证费用。
继承程序：
- 在继承开始后，继承人需要按照法定程序处理被继承人的遗产。如果银行卡内的资金属于遗产的一部分，那么继承人可能需要通过继承程序来确认其继承权。
- 如果继承程序已经启动，并且继承人已经获得了法院的判决书或调解书，或者已经办理了继承权公证，那么这些文件可能足以证明继承人的身份和继承权，从而无需再次公证。
二、第二继承人的特殊情况
- 作为第二继承人，你的继承权是在第一继承人（如配偶、子女、父母）不存在或放弃继承权的情况下才产生的。因此，在处理银行卡内资金时，你需要确认第一继承人的情况。
- 如果第一继承人存在且未放弃继承权，那么你可能需要与他们协商处理遗产分配问题。在这种情况下，是否需要公证及交钱可能取决于你们之间的协商结果。
三、实际操作建议
联系银行：
- 首先，建议你直接联系银行，了解他们对于继承人提取已故存款人账户内资金的具体规定和要求。
- 询问银行是否需要提供公证文件或其他法律文件，以及这些文件的办理流程和费用。
准备必要文件：
- 根据银行的要求，准备必要的文件，如死亡证明、继承权证明（如法院判决书、调解书或继承权公证书）、身份证明等。
协商处理：
- 如果涉及其他继承人，建议与他们协商处理遗产分配问题，以避免不必要的纠纷和费用。
考虑法律途径：
- 如果在处理过程中遇到困难或纠纷，可以考虑寻求法律帮助，通过法律途径解决继承问题。
最后，处理已故存款人的银行卡内资金是一个涉及法律、银行规定和继承程序的问题。作为第二继承人，你需要根据具体情况和银行的要求来决定是否需要公证及交钱。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。