在宠物猫被碾死的情况下，司机是否承担责任以及承担何种责任，需根据具体情况来判断，主要涉及过错责任原则和无过错责任原则两种情形。以下是对此问题的详细分析：
一、过错责任原则
司机存在过错：
- 如果司机在驾驶过程中存在疏忽或违规行为，如超速、未注意观察路况、未按规定避让行人或动物等，导致宠物猫被碾死，那么司机应当承担相应的赔偿责任。
- 这种赔偿责任通常包括宠物猫的市场价值损失、宠物主人为救治宠物猫所支出的合理费用等。
宠物主人存在过错：
- 如果宠物猫是在未受主人有效控制的情况下跑上道路，且司机在正常驾驶过程中无法预见或避免事故的发生，那么宠物主人可能需要承担一定的责任。
- 在这种情况下，司机的赔偿责任可能会相应减轻或免除，具体取决于双方过错的程度和法院的判决。
二、无过错责任原则（特定情形下）
- 在某些特定情形下，如司机驾驶的是特种车辆（如危险品运输车）或在执行特殊任务时，可能适用无过错责任原则。这意味着即使司机没有过错，也可能需要承担一定的赔偿责任。然而，在宠物猫被碾死的普通交通事故中，这种情况较为罕见。
三、其他考虑因素
宠物猫的合法身份：
- 如果宠物猫是合法饲养的，且主人能够提供相关证明（如养犬证、疫苗接种证明等），那么这将有助于主张赔偿。
- 如果宠物猫是流浪猫或非法饲养的，那么赔偿主张可能会受到一定影响。
事故现场的证据收集：
- 宠物主人应及时收集事故现场的证据，如照片、视频、目击者证言等，以证明司机的过错和宠物猫的损失。
- 这些证据将对于后续的赔偿主张和法院判决具有重要作用。
保险理赔：
- 如果司机购买了车辆保险（如交强险、第三者责任险等），那么宠物主人可以向保险公司提出理赔申请。
- 保险公司将根据保险合同的约定和事故的具体情况来决定是否赔偿以及赔偿的金额。
四、法律建议
- 对于宠物主人：在发生此类事故后，应保持冷静，及时收集证据并报警。同时，可以与司机协商赔偿事宜，如果协商无果，可以向法院提起诉讼来维护自己的合法权益。
- 对于司机：在驾驶过程中应严格遵守交通规则，注意观察路况和避让行人及动物。如果发生事故，应积极配合调查和处理，并根据自己的过错程度承担相应的赔偿责任。
总的来说，宠物猫被碾死的情况下，司机是否承担责任以及承担何种责任需根据具体情况来判断。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。