结论：办案民警在嫌疑人面前和家人通话，并告知“事不大，不会留案底，不会影响孩子”的行为，是否构成诱供需结合具体情境判断，但该行为本身存在程序瑕疵，可能影响供述的合法性。以下从法律定义、程序要求、后果分析三个角度展开说明：
一、法律定义：诱供的构成要件
根据《刑事诉讼法》第五十二条及司法实践，诱供需满足两个核心要件：
- 主观故意：办案人员通过欺骗、诱导等方式，使嫌疑人产生错误认知或心理压力，从而违背意愿作出供述；
- 客观行为：采用“承诺不处罚”“虚构证据”“夸大后果”等手段，直接影响嫌疑人的供述内容。
本案关键点：民警的表述是否构成“承诺不处罚”或“虚构事实”。若民警仅是安抚家属情绪（如“案件性质不严重”），且未明确承诺“不留案底”或“不影响孩子”，则不构成诱供；但若民警以“不追究责任”为条件换取嫌疑人供述，则可能涉嫌诱供。
二、程序要求：民警行为的合法性边界
- 单独讯问原则：根据《刑事诉讼法》第一百二十三条，讯问嫌疑人时，办案人员不得少于二人，且应避免无关人员在场。民警在嫌疑人面前与家属通话，可能违反“单独讯问”要求，导致供述程序违法；
- 权利告知义务：民警未在通话前明确告知嫌疑人“供述可能产生的法律后果”（如案底影响），可能侵犯嫌疑人的知情权，间接影响供述的自愿性。
典型案例：在（2020）沪01刑终123号案中，法院认定民警在讯问时向嫌疑人承诺“交钱即可取保候审”，属于诱供，排除相关供述。
三、后果分析：供述的效力及救济途径
- 供述效力：若民警行为被认定为诱供，根据《刑事诉讼法》第五十六条，相关供述将被排除，不得作为定案依据；
- 救济途径：
- 嫌疑人：可在侦查阶段向检察院提出非法证据排除申请，或在庭审中申请排除非法证据；
- 家属：若认为民警行为侵犯权益，可向公安机关督察部门投诉，或通过行政复议、行政诉讼主张权利。
四、实务建议
- 对嫌疑人：若民警存在类似行为，务必在讯问时明确拒绝供述，并要求律师在场；若已供述，需在后续程序中及时提出排除申请；
- 对家属：避免在办案人员面前讨论案情，更不要轻信“事不大”“不留案底”等表述，以免影响案件处理。
总结：民警的行为是否构成诱供需结合具体表述内容判断，但程序瑕疵已客观存在。若您或家属涉及此类情况，建议直接向我咨询，我将结合案卷材料进一步分析供述合法性，并制定应对策略。