公司和员工劳动关系的确认，主要依据相关法律法规以及实际用工情况来进行。以下是一些主要的确认方式及要点：

一、书面劳动合同确认

最直接且明确的劳动关系确认方式是签订书面劳动合同。根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，且应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。书面劳动合同是明确双方权利和义务的重要依据，也是处理劳动争议时的重要证据。

二、实际用工情况确认

即使未签订书面劳动合同，只要同时具备以下情形，劳动关系仍然成立：

1. 主体资格：用人单位和劳动者需符合法律、法规规定的主体资格。
2. 劳动管理：用人单位依法制定的各项劳动规章制度适用于劳动者，劳动者受用人单位的劳动管理，并从事用人单位安排的有报酬的劳动。
3. 业务组成部分：劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分。

三、相关凭证辅助确认

在未签订书面劳动合同的情况下，认定双方存在劳动关系时，可以参照以下凭证：

1. 工资支付凭证或记录：如职工工资发放花名册、缴纳各项社会保险费的记录等，这些凭证能够证明劳动者与用人单位之间的经济关系。
2. 身份证明证件：如用人单位向劳动者发放的“工作证”、“服务证”等，这些证件能够证明劳动者的身份以及与用人单位的关联。
3. 招用记录：如劳动者填写的用人单位招工招聘“登记表”、“报名表”等，这些记录能够证明劳动者被用人单位招用的过程。
4. 考勤记录：考勤记录能够证明劳动者在用人单位的工作时间和出勤情况。
5. 其他劳动者的证言：其他劳动者的证言也可以作为辅助证据，证明劳动者与用人单位之间的劳动关系。

其中，工资支付凭证或记录、招用记录以及考勤记录等凭证，通常由用人单位负举证责任。

四、特殊情况下的用工主体责任

在建筑施工、矿山企业等特殊行业中，如果用人单位将工程（业务）或经营权发包给不具备用工主体资格的组织或自然人，那么对该组织或自然人招用的劳动者，由具备用工主体资格的发包方承担用工主体责任。这也是一种特殊的劳动关系确认方式。

五、劳动争议仲裁确认

如果劳动者与用人单位就是否存在劳动关系引发争议，可以向有管辖权的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁委员会将根据相关法律法规和实际用工情况，对双方是否存在劳动关系进行裁决。

综上所述，公司和员工劳动关系的确认方式多种多样，既可以通过签订书面劳动合同来明确，也可以通过实际用工情况、相关凭证以及劳动争议仲裁等方式来确认。在实际操作中，建议用人单位和劳动者都应重视劳动关系的确认问题，以避免不必要的劳动争议和法律风险。