当公司辞退员工，且员工认为这一行为可能存在问题或违法时，可以通过以下途径和部门来处理和咨询：
一、内部协商
首先，员工可以尝试与公司进行内部协商，这是最直接且通常成本最低的解决方式。在协商过程中，员工应理性表达自己的意见和要求，并保留好相关的书面记录、邮件、聊天记录或会议纪要等，以备将来用作证据。虽然《人事争议处理规定》等文件并未对协商的时效做出明确限制，但建议员工在知道或应当知道权利受到侵害后尽快与公司协商，以便及时解决问题。
二、寻求法律援助与咨询
如果内部协商无果，或者员工对公司的辞退行为存在疑问，可以寻求法律援助或咨询。这包括：
劳动法律专家：员工可以咨询劳动法律专家，了解自己的权益和可能的维权途径。法律专家可以根据具体情况提供专业的法律意见。
工会组织：如果员工所在的公司有工会组织，也可以向工会寻求帮助。工会通常会为员工提供法律咨询和援助，并协助员工与公司进行协商或调解。
三、劳动人事争议仲裁委员会
如果协商和法律援助都无法解决问题，员工可以向用人单位所在地或者劳动合同履行地的劳动人事争议仲裁委员会提出劳动仲裁请求。劳动仲裁是处理劳动争议案件的必经程序，员工需要在被公司辞退后一年内提出仲裁请求。仲裁员会开庭审理案件，并根据事实和法律作出裁决。
四、人民法院
如果员工对仲裁裁决结果不服，可以在收到仲裁裁决后15日内向有管辖权的法院提起诉讼。法院会重新审理案件，并根据事实和法律作出判决。这是员工维护自身权益的最后一道法律屏障。
五、其他相关部门
除了上述途径外，员工还可以根据具体情况向其他相关部门咨询或投诉，如：
劳动监察部门：如果员工认为公司存在违反劳动法律法规的行为，可以向当地的劳动监察部门投诉。劳动监察部门会依法对公司进行调查和处理。
人力资源和社会保障部门：员工也可以向当地的人力资源和社会保障部门咨询相关政策和法规，了解自己的权益和可能的维权途径。
总结与建议：
在处理公司辞退员工的问题时，员工应保持冷静和理性，首先尝试与公司进行内部协商。如果协商无果或存在疑问，可以寻求法律援助或咨询劳动法律专家、工会组织等。如果问题仍然无法解决，可以向劳动人事争议仲裁委员会提出仲裁请求，并在必要时向人民法院提起诉讼。同时，员工也可以根据具体情况向其他相关部门咨询或投诉。在整个过程中，员工应保留好相关证据，以便在需要时维护自己的合法权益。