向法院申请调取交通事故监控的申请书撰写方式及法律依据如下：
一、申请书撰写要点
标题与称谓：
- 标题：明确为“调取证据申请书”。
- 称谓：写明受理申请的法院名称，如“XX市XX区人民法院”。
申请人信息：
- 写明申请人的姓名、性别、年龄、民族、职业、住址及联系方式。
- 若申请人为法人或其他组织，需写明名称、住所地及法定代表人或主要负责人的姓名、职务。
申请事项：
- 明确请求法院调取的具体证据，即“调取XX年XX月XX日发生在XX路段的交通事故监控录像”。
事实与理由：
- 简要描述交通事故的基本情况，包括时间、地点、涉及车辆及人员等。
- 阐述调取监控录像的必要性，如证明事故责任、还原事故现场等。
- 说明申请人已自行尝试调取但未能成功，或因客观原因无法自行调取的情况。
证据线索：
- 提供监控录像可能存放的具体位置或管理部门，如“该监控录像由XX市公安局交通警察支队XX大队管理”。
结尾与落款：
- 写明“此致”及受理申请的法院名称。
- 申请人签名或盖章，并注明申请日期。
二、法律依据
《中华人民共和国民事诉讼法》第六十四条：
- 当事人对自己提出的主张，有责任提供证据。当事人及其诉讼代理人因客观原因不能自行收集的证据，或者人民法院认为审理案件需要的证据，人民法院应当调查收集。
《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》第十七条：
- 符合下列条件之一的，当事人及其诉讼代理人可以申请人民法院调查收集证据：
- 申请调查收集的证据属于国家有关部门保存并须人民法院依职权调取的档案材料；
- 涉及国家秘密、商业秘密、个人隐私的材料；
- 当事人及其诉讼代理人确因客观原因不能自行收集的其他材料。
《中华人民共和国道路交通安全法》第七十二条：
- 公安机关交通管理部门接到交通事故报警后，应当立即派交通警察赶赴现场，先组织抢救受伤人员，并采取措施，尽快恢复交通。交通警察应当对交通事故现场进行勘验、检查，收集证据；因收集证据的需要，可以扣留事故车辆，但是应当妥善保管，以备核查。虽然此条未直接规定监控录像的调取，但明确了公安机关交通管理部门在交通事故处理中的证据收集职责，监控录像作为重要证据，通常也由其管理。
在撰写申请书时，请确保所有信息的准确性和完整性，并附上相关证据材料以支持你的申请。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。