在处理双方斗殴且双方都受伤的情况时，公安机关会依据相关法律法规进行一系列妥善且细致的处理流程。以下是对这一问题的详细解答：

一、及时出警与调查取证

公安机关在接到打架斗殴的报案后，会迅速出警到达现场，首要任务是制止正在发生的违法犯罪行为，并保护现场不受进一步破坏。随后，公安机关将展开全面细致的调查取证工作，这包括：

1. 询问当事人：详细了解打架斗殴的起因、经过和结果，包括谁先动手、打架的具体方式、是否使用了工具等关键细节。
2. 询问证人：积极寻找目击者，获取他们对打架过程的描述，以印证当事人的陈述，确保事实的准确性。
3. 收集物证：如打架使用的工具、双方当事人的伤情照片、现场的血迹、损坏的物品等，这些物证对于认定案件事实至关重要。
4. 调取监控：若案发现场有监控设备，公安机关将调取相关监控视频，作为认定案件事实的重要依据。

二、伤情鉴定与处理

1. 伤情鉴定：公安机关会根据双方当事人的受伤情况，安排进行伤情鉴定。伤情鉴定结果分为轻微伤、轻伤和重伤，这将直接影响案件的性质和处理方式。若鉴定结果为轻伤及以上，案件性质可能转化为刑事案件，按照刑事诉讼程序处理；若只是轻微伤，则按照治安案件处理。
2. 处理依据：伤情鉴定结果是对打架斗殴行为人进行处罚的重要依据。一般来说，受伤程度越严重，对致害人的处罚可能就越重。

三、调解处理

对于因民间纠纷引起的打架斗殴情节较轻的治安案件，且双方都有一定过错、受伤程度较轻、社会影响不大等情况，公安机关可以尝试调解处理。调解程序包括：

1. 在查明事实、分清责任的基础上，召集双方当事人进行调解。
2. 向双方宣传相关法律法规，引导双方互谅互让，理解对方的立场和感受。
3. 就民事赔偿等问题达成协议，确保双方都能接受并履行。

如果双方达成协议并履行，公安机关将不再对违反治安管理行为人给予治安处罚；如果调解未达成协议或达成协议后不履行，公安机关将依法对违反治安管理行为人给予处罚，并告知当事人可就民事争议向人民法院提起民事诉讼。

四、治安处罚

根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，殴打他人或故意伤害他人身体的，将受到五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款的处罚；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。若存在结伙殴打、伤害残疾人、孕妇、不满十四周岁的人或六十周岁以上的人，以及多次殴打、伤害他人或一次殴打、伤害多人等情形，处罚将更加严厉，处十日以上十五日以下拘留，并处五百元以上一千元以下罚款。公安机关会根据双方的过错程度、行为情节、受伤情况等因素，分别对双方进行处罚。

五、民事赔偿

打架斗殴的双方除了可能面临治安处罚外，还需要承担民事赔偿责任。赔偿范围包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等。如果造成残疾或死亡，还需赔偿相应的残疾赔偿金、残疾辅助器具费、丧葬费和死亡赔偿金等。双方可以就民事赔偿问题自行协商解决，也可以在公安机关的主持下进行调解。如果协商或调解不成，当事人可以向人民法院提起民事诉讼，通过司法途径解决赔偿纠纷。

综合建议：打架斗殴是违反治安管理的行为，双方都会受到相应的法律制裁。因此，在遇到纠纷时，建议大家保持冷静和理智，避免采取暴力手段解决问题。如果发生斗殴事件，双方应积极配合警方调查，如实陈述事实，提供相关证据和线索。同时，双方可尝试通过协商解决赔偿问题，若无法达成一致，可寻求法律援助或司法途径解决争议。