结论前置：

1. 监事在一般情况下没有直接权利代表公司签合同，其签字行为需基于合法授权。
2. 若监事获得特别授权或在紧急情况下为保护公司利益且后续得到公司追认而签订合同，该合同对公司具有法律效力。
3. 监事在合同上签字是否承担责任，需根据具体情况判断。

详细分析：

一、监事的职责与权限

监事在公司中主要扮演监督角色，其职责包括监督公司的经营管理活动、检查公司财务、监督董事及高级管理人员的履职情况等。监事并不负责公司日常的经营决策和对外交易行为的签署，这一权力通常属于公司的法定代表人或经过法定代表人授权的人。因此，在一般情况下，监事没有直接权利代表公司签订合同。

二、监事签合同的合法授权

尽管监事通常不具备签订合同的权力，但在某些特定情况下，监事可以获得合法授权来签订合同：

1. 获得特别授权：如果公司章程明确赋予监事在特定事项或范围内签订合同的权力，或者经过股东会、董事会特别授权，监事可以在授权范围内代表公司签署合同。此时，监事的签字行为对公司具有法律效力。

2. 紧急情况且符合公司利益：在某些紧急状况下，为了保护公司利益，且无法及时获得法定代表人或其他有权签约人的指示，监事若为避免公司遭受重大损失而签订合同，并后续得到公司追认，该合同也可能被视为有效。

三、监事未获授权签合同的风险

如果监事未获得公司的授权而擅自签订合同，该行为可能面临法律风险。因为监事的主要职责是监督而非执行具体业务操作，如签订合同。在此情况下，公司可能不会承认该合同的效力，且监事可能需要承担因擅自签字而产生的法律后果，如赔偿公司因此遭受的损失。

四、监事签字承担责任的判定

监事在公司合同上签字是否承担责任，需视具体情况而定：

1. 职权范围内且为合法目的：若监事的签字行为是在其职权范围内，且是为了公司的正常经营、利益维护等合法目的，通常情况下是代表公司的行为，由公司承担相应责任，监事一般不承担个人责任。

2. 存在故意或重大过失：但如果监事在签字时存在故意或重大过失，比如明知合同内容存在违法或对公司有重大不利影响而仍签字，或者超越职权范围签字且给公司造成损失的，监事可能需要对公司承担相应的赔偿责任。

五、实际操作建议

1. 明确授权：如果公司需要监事代表公司签订合同，应明确授予其相应的权力，并确保授权行为符合公司章程和法律法规的规定。

2. 谨慎签字：监事在签字前应仔细审查合同内容，确保自己有权签字且合同内容合法合规。如果存在疑问或不确定的情况，应及时咨询公司法律顾问或相关部门。

3. 保留证据：监事在签订合同后应妥善保留相关证据，如授权委托书、合同文本等，以备不时之需。

总结：监事是否有权利签合同以及签字后是否承担责任，均取决于其是否获得了公司的合法授权以及签字行为的具体情况。在实际操作中，监事应严格遵守公司章程和法律法规，确保自身行为的合法性和合规性。如果您在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。