关于员工退休办理当月合同是终止到月底还是生日当日的问题，结论如下：

1. 法律并未明确规定具体终止日期：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条，劳动者开始依法享受基本养老保险待遇的，劳动合同终止。但此条款并未明确规定退休当月的工作截止日期是生日当天还是月底。
   • 同样，《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第二十一条也仅规定劳动者达到法定退休年龄的，劳动合同终止，同样未涉及具体终止日期的细节。

2. 实际操作中取决于单位规定与双方协商：

   • 单位规定：不同单位可能有不同的内部规定或惯例。有些单位可能规定员工在达到退休年龄的当月即不再安排工作，而有些单位则可能要求员工继续工作直至月底。
   • 双方协商：在缺乏明确单位规定的情况下，员工与单位之间可以通过协商来确定退休当月的工作截止日期。这种协商应基于双方的实际情况和需求，以确保公平合理。

3. 考虑工作交接与工资结算的便利性：

   • 从工作交接的角度来看，单位可能倾向于让员工工作到退休当月月底，以确保工作的连续性和稳定性。
   • 从工资结算的角度来看，以月为单位进行工资发放和社保缴纳更为简便，避免月中离职带来的核算麻烦和争议。

4. 退休手续办理与待遇发放的影响：

   • 办理退休手续通常需要一定时间，包括提交必要材料并经过相关部门审核批准。这个过程可能会影响退休当月的工作安排。
   • 退休金的发放时间一般是在次月开始。如果退休当月没有上班，单位可能不会发放全额工资，具体待遇情况需根据单位规定确定。

建议与注意事项：

• 提前咨询：在临近退休年龄时，建议提前咨询所在单位的人事部门或相关负责人，了解单位的具体规定和操作流程。
• 沟通协商：根据自身情况和单位需求，与单位沟通协商退休当月的工作截止日期，以确保工作的顺利交接和退休手续的及时办理。
• 关注个人档案：注意个人档案中记载的出生时间与身份证是否一致，如有不符，应及时核实并以档案最先记载的时间为准，因为这可能影响到退休时间的确定。

综上所述，员工退休办理当月合同是终止到月底还是生日当日，并非由法律强制规定，而是取决于单位的具体规定、双方协商以及实际情况。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。