复议办在收到申请人关于不履行法定职责的行政复议申请书后，是会调查案件的事实依据的。以下从多个角度为你详细分析：
复议办的职责与调查义务
根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，行政复议机关负责法制工作的机构（即复议办）在收到行政复议申请后，有义务对申请进行审查，并在必要时进行调查取证。这是为了确保行政复议决定的公正性和准确性，保护公民、法人和其他组织的合法权益。
调查的具体内容与方式
事实依据的调查：
- 复议办会重点调查行政机关是否确实存在不履行法定职责的行为。这包括审查行政机关的职责范围、是否收到了申请人的申请、是否在法定期限内作出了回应或处理等。
- 调查方式可能包括查阅相关文件、询问相关人员、现场勘查等，以确保获取全面、准确的事实依据。
法律适用的审查：
- 除了事实依据的调查外，复议办还会审查行政机关在处理申请人申请时所适用的法律、法规是否正确。
- 这有助于确保行政机关的行为不仅符合事实，也符合法律规定，从而维护法治的权威性和统一性。
调查后的处理
如果调查发现行政机关确实存在不履行法定职责的行为：
- 复议办会建议行政机关在一定期限内履行法定职责，或者如果行政机关的行为已经给申请人造成了损害，复议办可能会建议行政机关给予相应的赔偿。
- 在某些情况下，复议办也可能直接作出行政复议决定，要求行政机关履行法定职责或赔偿损失。
如果调查发现行政机关不存在不履行法定职责的行为：
- 复议办会驳回申请人的行政复议申请，并说明理由。
- 申请人如果对复议决定不服，还可以依法向人民法院提起行政诉讼。
对申请人的建议
- 提供充分证据：在提交行政复议申请时，申请人应尽可能提供充分的证据来支持自己的主张，如申请书、行政机关的回复或处理记录等。这有助于复议办更准确地了解案件事实，作出公正的复议决定。
- 积极配合调查：在复议办进行调查时，申请人应积极配合，提供必要的协助和信息。这有助于加快调查进程，确保复议决定的及时作出。
如果你在行政复议过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据你的具体情况，为你提供专业、全面的法律建议。