结论：在公司做了6年，公司不续签合同的情况下，到期日前请病假是可以的，但需注意病假期限、医疗期规定以及合同到期日与病假结束日的关系，同时应关注公司不续签合同可能带来的经济补偿问题。
分析说明：
病假权利：
- 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工在患病或非因工负伤时，有权享受医疗期，并在医疗期内享受病假待遇。
- 医疗期的具体长度根据员工的工作年限和在本单位的工作年限来确定，例如，工作年限10年以下的，在本单位工作年限5年以下的为3个月；5年以上的为6个月。因此，您在公司做了6年，应享有至少6个月的医疗期（具体以当地规定为准）。
合同到期与病假：
- 如果您的劳动合同在医疗期内到期，根据相关规定，劳动合同应当续延至医疗期满。这意味着，即使合同原本到期，您也有权继续享受病假待遇直至医疗期结束。
- 如果您的医疗期在合同到期前已经结束，且您希望继续休假，则需要与公司协商并获得同意，或者根据公司的规章制度来申请其他类型的假期。
公司不续签合同的经济补偿：
- 根据《劳动合同法》的规定，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同期满终止固定期限劳动合同的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
- 经济补偿的标准按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，您在公司做了6年，如果公司不续签合同，您有权获得6个月工资的经济补偿。
行动建议：
- 了解医疗期规定：首先，您需要了解自己所在地区的医疗期规定，确定自己应享有的医疗期长度。
- 与公司沟通：如果您的合同即将到期且您正在享受病假，建议及时与公司沟通，明确合同续延或终止的相关事宜。
- 准备经济补偿谈判：如果公司决定不续签合同，您可以根据《劳动合同法》的规定，与公司协商经济补偿事宜。如果协商不成，您可以向劳动仲裁机构申请仲裁。
后续关注：
- 在整个过程中，您应保留好所有相关的医疗证明、合同文件以及与公司的沟通记录，以备不时之需。
- 如果您对公司的决定或经济补偿方案有异议，建议及时咨询专业律师（即我本人，殷翰卿律师，专注于海事商事、合同纠纷领域），以维护自己的合法权益。