结论：老人住院期间白天自己下床去关门摔倒，医院是否有责任需根据具体情况判断，主要看医院是否尽到了安全保障义务。以下从不同角度进行分析：
一、医院的安全保障义务
根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条的规定，宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。医院作为提供医疗服务的公共场所，对在其场所内的患者负有安全保障义务。
安全保障义务的内容：
- 医院应确保病房设施安全，如床铺稳固、地面防滑等。
- 医院应提供必要的警示和提示，如设置防滑标识、提醒患者注意安全等。
- 医院应制定并执行合理的护理制度，确保患者在需要帮助时能够得到及时响应。
医院是否尽到安全保障义务的判断：
- 如果医院病房设施存在安全隐患，如床铺不稳固、地面湿滑等，且医院未采取相应措施进行防范，那么医院可能未尽到安全保障义务。
- 如果医院已经设置了必要的警示和提示，且护理制度合理，但在患者摔倒时因家属不在场且医院无法及时响应（如护理人员不足或未及时巡查）导致患者受伤，那么医院是否承担责任需根据具体情况判断。如果医院能够证明其已经尽到了合理的安全保障义务，那么可能不承担责任；反之，则可能需要承担部分或全部责任。
二、患者自身的责任
患者作为完全民事行为能力人或限制民事行为能力人的责任：
- 如果老人具有完全民事行为能力或限制民事行为能力但能够辨认自己的行为，那么他在下床关门时应当意识到可能存在的风险，并采取相应的防范措施。如果老人因自身疏忽或故意行为导致摔倒受伤，那么他可能需要承担部分或全部责任。
患者家属的责任：
- 在这个案例中，家属不在场可能不是导致老人摔倒的直接原因，但如果家属在老人住院期间未尽到必要的照顾义务（如未安排陪护人员、未及时与医院沟通老人的特殊需求等），那么家属也可能需要承担一定的责任。不过，这种责任通常与医院的安全保障义务责任是分开的，需要根据具体情况进行判断。
三、具体情境下的责任划分
如果医院未尽到安全保障义务：
- 如病房设施存在安全隐患且医院未采取防范措施、未设置必要的警示和提示、护理制度不合理等，导致老人摔倒受伤，那么医院可能需要承担部分或全部责任。
如果医院已经尽到安全保障义务：
- 如医院病房设施安全、设置了必要的警示和提示、护理制度合理且执行到位等，但老人因自身疏忽或故意行为导致摔倒受伤，那么医院可能不承担责任或仅承担极小的责任（如人道主义补偿）。
如果存在第三方因素：
- 如老人摔倒是因为其他患者或访客的故意或过失行为导致的，那么责任应由该第三方承担。医院在此时可能仅需承担与其过错程度相适应的补充责任（如未及时制止第三方行为等）。
建议：
- 如果老人或家属认为医院存在过错并导致老人受伤，可以收集相关证据（如现场照片、医疗记录、证人证言等）并向医院提出索赔要求。
- 如果医院拒绝赔偿或双方无法就赔偿事宜达成一致意见，老人或家属可以向当地卫生行政部门投诉或向人民法院提起诉讼以维护自身合法权益。
在处理此类纠纷时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。如果你有任何法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。