结论：老人在医院电梯摔倒受伤，医院是否承担责任需根据具体情况判断，主要看医院是否尽到了安全保障义务。以下从不同角度进行分析：

一、医院的安全保障义务

根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条的规定，宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。医院作为公共场所，同样负有安全保障义务，这包括对电梯等设施的日常维护、检查，以及在电梯内设置明显的安全警示标志等。

1. 如果医院未尽到安全保障义务：

   • 例如，电梯存在故障未及时维修、电梯内地面湿滑未及时清理、未设置安全警示标志等，导致老人摔倒受伤，那么医院应当承担相应的赔偿责任。
   • 赔偿范围通常包括老人的医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。如果造成残疾的，还应当赔偿辅助器具费和残疾赔偿金。

2. 如果医院已尽到安全保障义务：

   • 例如，电梯定期维护、检查，地面干净无杂物，设置了明显的安全警示标志，且老人摔倒是由于自身原因（如突然晕厥、不慎失足等）导致的，那么医院通常不承担赔偿责任。
   • 但如果老人摔倒与医院的其他行为（如医护人员推搡、碰撞等）有关，那么医院仍需根据过错程度承担相应的赔偿责任。

二、老人自身的责任

在判断医院是否承担责任时，还需考虑老人自身的责任。如果老人摔倒是由于自身原因（如年迈体弱、行动不便、疏忽大意等）导致的，且医院已尽到安全保障义务，那么老人自身可能需要承担一定的责任。这种情况下，医院的赔偿责任可能会相应减轻。

三、举证责任

在诉讼中，老人需要证明医院未尽到安全保障义务，以及自身受伤与医院的行为之间存在因果关系。这通常需要提供相关的证据，如现场照片、视频、证人证言、医疗记录等。如果老人无法提供充分的证据证明医院存在过错，那么可能面临败诉的风险。

四、建议

1. 及时收集证据：如果老人在医院电梯摔倒受伤，应尽快收集现场照片、视频、证人证言等证据，以便后续维权。
2. 与医院协商：在收集到证据后，可以尝试与医院协商解决赔偿事宜。如果协商不成，可以考虑通过法律途径解决。
3. 咨询专业律师：在处理此类纠纷时，建议咨询专业律师的意见，以便更好地维护自身权益。

总结：老人在医院电梯摔倒受伤，医院是否承担责任需根据具体情况判断。如果医院未尽到安全保障义务，导致老人受伤，那么医院应当承担相应的赔偿责任。但老人自身也可能需要承担一定的责任。在处理此类纠纷时，建议及时收集证据、与医院协商，并咨询专业律师的意见。