结论：是否需要承担责任，不能一概而论，需要结合具体情况判断，包括互殴的具体情节、对方孩子抑郁症与互殴之间的因果关系等。以下从不同角度进行分析：
一、侵权责任的构成要件角度
根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，一般侵权责任的构成要件包括：行为人实施了侵权行为、造成了损害后果、侵权行为与损害后果之间存在因果关系、行为人主观上存在过错（故意或过失）。
侵权行为：孩子之间的互殴行为，如果超出了正常的嬉闹范围，对对方孩子造成了身体上的伤害或者精神上的刺激，那么可以认为实施了侵权行为。但这里要注意，是孩子之间的行为，家长是否直接参与或教唆也会影响责任的认定。
损害后果：对方家长声称其孩子被吓出抑郁症，这需要专业的医疗鉴定来确认抑郁症的真实性以及其严重程度。如果确实存在抑郁症，且该抑郁症与互殴行为有直接的关联，那么可以认为造成了损害后果。
因果关系：这是判断是否需要承担责任的关键。需要证明对方孩子的抑郁症是由互殴行为直接导致的，而非其他因素（如家庭环境、个人性格等）。这通常需要专业的医疗鉴定和因果关系分析。
主观过错：如果您的孩子或您作为家长在互殴事件中存在故意或过失（如教唆、鼓励孩子打架等），那么可能构成主观过错。但如果只是孩子之间的自发行为，且您作为家长没有直接参与或教唆，那么主观过错可能较难认定。
二、特殊情况考虑
孩子年龄：如果涉事孩子年龄较小，属于无民事行为能力人或限制民事行为能力人，那么其监护人（通常是家长）可能需要承担一定的监护责任。但这并不意味着直接对对方孩子的抑郁症负责，而是要看监护人是否尽到了合理的监护义务。
医疗鉴定：对方孩子声称被吓出抑郁症，这需要进行专业的医疗鉴定。如果鉴定结果显示抑郁症与互殴行为无直接关联，或者抑郁症是由其他因素导致的，那么您可能不需要承担责任。
证据收集：在处理此类纠纷时，证据的收集至关重要。包括互殴现场的监控录像、目击者的证言、医疗鉴定报告等。这些证据将有助于还原事实真相，判断责任归属。
三、建议措施
保持冷静：在处理此类纠纷时，首先要保持冷静，不要与对方家长发生争执或冲突。
收集证据：尽快收集与互殴事件相关的证据，包括监控录像、目击者证言等。
协商解决：尝试与对方家长进行协商，看是否能够达成和解。如果协商无果，可以考虑通过法律途径解决。
寻求法律帮助：如果对方家长坚持要求您承担责任，且您认为自身无责或责任较小，可以寻求专业律师的帮助，通过法律途径维护自己的合法权益。
最后，是否需要承担责任取决于多个因素的综合判断。在处理此类纠纷时，建议您保持冷静、收集证据、协商解决，并在必要时寻求法律帮助。如果您有任何疑问或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。