结论：自行车被故意推倒10次，是否会刑事立案，需根据具体情况判断，若行为符合故意毁坏财物罪的构成要件，且达到刑事立案标准，则可能会刑事立案；若不符合或未达到标准，则可能不会刑事立案，但可能面临治安管理处罚。以下从不同角度详细分析：
一、刑事立案的可能性
故意毁坏财物罪的构成要件：
- 主观方面：行为人必须具有故意，即明知自己的行为会造成公私财物的毁坏，并且希望或者放任这种结果的发生。
- 客观方面：行为人实施了毁坏公私财物的行为，且数额较大或者有其他严重情节。这里的“毁坏”不仅指物理上的破坏，还包括使财物失去原有功能或价值的行为。
- 客体：公私财物的所有权。
- 主体：一般主体，即达到刑事责任年龄且具备刑事责任能力的自然人。
刑事立案标准：
- 根据《最高人民检察院、公安部关于公安机关管辖的刑事案件立案追诉标准的规定（一）》第三十三条，故意毁坏公私财物，涉嫌下列情形之一的，应予立案追诉：
- 造成公私财物损失五千元以上的；
- 毁坏公私财物三次以上的；
- 纠集三人以上公然毁坏公私财物的；
- 其他情节严重的情形。
具体到本案：
- 如果自行车被故意推倒10次，且每次推倒都造成了自行车的损坏（如车架变形、零件脱落等），且累计损失达到五千元以上，或者虽然损失未达到五千元，但推倒行为次数多、情节恶劣，符合“其他情节严重的情形”，则可能构成故意毁坏财物罪，公安机关可能会刑事立案。
二、不构成刑事犯罪时的处理
治安管理处罚：
- 如果自行车被故意推倒的行为未达到刑事立案标准，但违反了《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，如第四十九条：“盗窃、诈骗、哄抢、抢夺、敲诈勒索或者故意损毁公私财物的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款；情节较重的，处十日以上十五日以下拘留，可以并处一千元以下罚款。”则行为人可能面临治安管理处罚。
民事赔偿：
- 无论是否构成刑事犯罪，行为人都可能需要承担民事赔偿责任，赔偿自行车所有人的损失。
三、建议
收集证据：
- 如果自行车被故意推倒，建议尽快收集相关证据，如现场照片、视频、目击者证言等，以便后续维权。
报警处理：
- 如果认为行为人的行为已经构成犯罪或违反治安管理规定，建议及时向公安机关报案，由公安机关进行调查处理。
咨询律师：
- 如果对案件处理有疑问或需要进一步的法律帮助，建议咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。
如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。