可以申请工伤认定并开具相关证明，但需通过其他证据证明劳动关系存在。具体分析如下：

1. 未签劳动合同不影响工伤认定申请
   根据《工伤保险条例》第十八条，申请工伤认定需提交劳动关系证明、医疗诊断证明等材料。虽然未签书面合同，但可通过以下证据证明劳动关系：
   

• 工资支付记录（如银行流水、转账记录）；
  
• 工作证、考勤记录、工服、工牌等实物证据；
  
• 同事证言、工作群聊天记录、工作邮件等；
  
• 社保缴纳记录（若单位曾缴纳其他险种）；
  
• 录音录像等直接证据（如与单位负责人沟通工作内容的录音）。
  

1. 未买保险不影响工伤认定，但影响赔偿主体
   

• 工伤认定：是否缴纳工伤保险与能否认定工伤无关，只要符合《工伤保险条例》第十四条、第十五条的工伤情形（如工作时间受伤、职业病等），即可申请认定。
  
• 赔偿主体：若单位未缴纳工伤保险，根据《工伤保险条例》第六十二条，所有工伤待遇（如医疗费、伤残补助金等）均由单位承担；若单位拒赔，可通过劳动仲裁或诉讼追偿。
  

1. 操作建议
   

• 第一步：固定劳动关系证据：优先收集工资流水、考勤记录等客观证据，必要时申请劳动仲裁确认劳动关系（根据《劳动争议调解仲裁法》第二条）。
  
• 第二步：申请工伤认定：向单位所在地社保部门提交申请，若单位不配合，可自行提交材料（根据《工伤保险条例》第十七条，单位未在30日内申请的，劳动者可在1年内直接申请）。
  
• 第三步：主张赔偿：根据工伤认定结果，要求单位支付待遇；若单位拒付，可申请劳动仲裁或向法院起诉。
  

提示：若单位否认劳动关系，可能需先通过劳动仲裁确认劳动关系，再申请工伤认定，流程会延长，建议尽早收集证据并启动程序。如有具体证据或细节需要分析，可进一步向我说明。