结论前置：在票据到期后提示付款被拒付，非持票人付款后，一般是可以按照基础法律关系起诉的，但具体还需根据实际情况和法律规定来综合判断。
详细分析：
票据关系与基础法律关系：
- 票据关系，是指票据当事人基于票据行为而发生的债权债务关系。它主要包括出票关系、背书关系、承兑关系、保证关系等。
- 基础法律关系，则是指票据关系赖以产生和存在的民事法律关系，如买卖合同关系、借贷合同关系等。在票据纠纷中，票据关系与基础法律关系往往是相互关联的。
非持票人付款后的权利：
- 当票据到期后提示付款被拒付时，如果非持票人（如原买卖合同的卖方）为了履行其基础法律关系中的义务（如交付货物后的收款义务）而进行了付款，那么该非持票人实际上是在代为履行债务。
- 在此情况下，非持票人有权依据基础法律关系向真正的债务人（如买卖合同的买方）进行追偿。这是因为非持票人的付款行为，实际上是在维护基础法律关系的稳定性和公平性。
起诉的法律依据：
- 根据《中华人民共和国票据法》的相关规定，虽然票据具有无因性，即票据权利的行使不受票据原因关系的影响，但在特定情况下，票据关系与基础法律关系是可以相互牵连的。
- 当非持票人付款后，其可以依据基础法律关系（如买卖合同）向债务人提起诉讼，要求债务人履行其应尽的义务（如支付货款）。这是因为非持票人的付款行为，已经构成了对基础法律关系中债务人义务的代为履行。
实际操作中的注意事项：
- 在起诉前，非持票人需要收集并整理好相关证据，如买卖合同、票据、付款凭证等，以证明其付款行为的合法性和合理性。
- 同时，非持票人还需要注意诉讼时效的问题，确保在法定的诉讼时效期间内提起诉讼。
- 另外，如果票据上存在背书、保证等复杂情况，非持票人还需要仔细分析票据关系与基础法律关系之间的牵连关系，以确定最合适的诉讼策略。
特殊情况说明：
- 如果非持票人的付款行为并未得到债务人的明确认可或授权，且债务人对此提出异议，那么非持票人在起诉时可能会面临一定的法律风险。此时，非持票人需要更加谨慎地处理案件，并可能需要寻求专业法律帮助来维护其合法权益。
建议：
- 如果你作为非持票人遇到了类似情况，建议首先咨询专业律师，对案件进行全面评估和分析。
- 根据律师的建议，收集并整理好相关证据，制定合适的诉讼策略，以维护你的合法权益。
如有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会尽我所能为你提供专业、全面的法律服务。