若想对非涉外仲裁不予执行的裁定提出申诉，核心途径是向法院申请撤销仲裁裁决或通过法院的审查程序进行救济，具体需结合不予执行的理由和程序阶段选择合适方式。以下是详细说明：

1. 明确不予执行裁定的作出主体与救济途径

• 若裁定由中级人民法院作出：根据《仲裁法》第63条，被执行人申请不予执行仲裁裁决，法院裁定不予执行的，当事人可重新达成仲裁协议申请仲裁，或向法院起诉。但若对裁定本身不服（如认为法院程序违法），需通过审判监督程序申请再审（实践中较少见，因不予执行裁定通常不涉及实体错误）。
• 若裁定由基层法院作出（如执行阶段）：根据《民事诉讼法》第244条，当事人对不予执行裁定不服的，可自裁定送达之日起10日内向上一级法院申请复议。这是最常见的救济方式，需重点把握时效和复议理由。

2. 申请复议的核心要点

• 复议理由：需针对法院不予执行的法定理由（如无仲裁协议、裁决超出协议范围、程序违法等）提出反驳，或主张法院认定事实错误、适用法律不当。例如，若法院以“证据伪造”为由不予执行，需提供证据证明仲裁庭已依法审查或该证据不影响实体结果。
• 材料准备：提交复议申请书（载明申请人、请求、事实与理由）、原仲裁裁决书、不予执行裁定书、相关证据材料（如仲裁程序记录、新证据等）。
• 程序注意：复议期间不停止执行，若原裁决已部分执行，复议成功可能涉及执行回转问题。

3. 申请撤销仲裁裁决的替代方案

• 适用场景：若复议期限已过或复议未获支持，且存在《仲裁法》第58条规定的撤销情形（如无仲裁协议、裁决违背社会公共利益等），可向仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销裁决。
• 与复议的区别：撤销程序针对仲裁庭的裁决本身，而复议针对法院的执行裁定；撤销需在收到裁决书6个月内提出，时效更严格。

4. 实务建议

• 时效优先：非涉外仲裁不予执行的复议期限仅10日，务必第一时间准备材料并提交。
• 理由精准：避免泛泛而谈“裁决不公”，需结合《仲裁法》或《民事诉讼法》的具体条款，指出法院或仲裁庭的程序/实体错误。
• 证据支撑：若主张仲裁程序违法（如未通知当事人参加庭审），需提供仲裁卷宗中的送达记录等证据。

提示：非涉外仲裁的救济程序与涉外仲裁存在差异（如涉外案件可向法院申请不予执行+撤销的“双重救济”），需严格区分。若对具体程序或材料有疑问，可直接向我咨询，我会结合您的案件细节进一步分析。