结论前置：入职半个月被公司辞退，劳动者是否有权申请经济补偿或赔偿，主要取决于公司辞退的理由是否合法。若公司违法辞退，劳动者有权要求赔偿；若公司合法辞退但符合法定补偿情形，劳动者有权申请经济补偿；若劳动者存在严重违规等行为，则公司无需支付补偿。
一、公司合法辞退且无需支付补偿的情形
在以下情况下，公司可以合法辞退劳动者且无需支付经济补偿：
- 试用期不符合录用条件：若公司在招聘时明确了岗位的录用条件，如特定的专业技能、考核标准等，而劳动者在试用期内未能达到这些条件，且有充分证据证明，公司可以合法辞退且无需支付补偿。
- 严重违反规章制度：若公司的规章制度制定程序合法、内容合理且已向劳动者公示告知，劳动者严重违反这些规章制度，如旷工达到一定天数，公司可以合法辞退且无需支付补偿。
- 严重失职或营私舞弊：若劳动者因自身原因给用人单位造成重大损害，且公司能证明损失情况和劳动者的失职行为，公司可以合法辞退且无需支付补偿。
- 与其他单位建立劳动关系：若劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出后拒不改正，公司可以合法辞退且无需支付补偿。
- 劳动合同无效：若劳动者以欺诈、胁迫等手段使单位在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同，公司可以合法辞退且无需支付补偿。
- 被依法追究刑事责任：若劳动者被依法追究刑事责任，公司可以合法辞退且无需支付补偿。
二、公司合法辞退但需支付补偿的情形
在以下情况下，公司虽合法辞退劳动者，但需支付半个月工资的经济补偿：
- 患病或非因工负伤：若劳动者患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或用人单位另行安排的工作，公司需支付经济补偿。
- 不能胜任工作：若劳动者经过培训或调整岗位后仍不能胜任工作，公司需支付经济补偿。
- 客观情况发生重大变化：若劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，导致合同无法履行，且双方未能就变更合同内容达成协议，公司需支付经济补偿。
经济补偿的计算公式：
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算。不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。具体计算公式为：
\(经济补偿 = 半个月工资\)
其中，月工资为劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
三、公司违法辞退的情形
如果公司没有正当合法的理由辞退劳动者，属于违法辞退。在这种情况下，劳动者可以要求公司支付赔偿金，标准为经济补偿标准的二倍，即一个月工资。
赔偿金的计算公式：
\(赔偿金 = 经济补偿标准 \times 2 = 半个月工资 \times 2 = 一个月工资\)
四、申请经济补偿或赔偿的流程
如果公司拒绝给予经济补偿或赔偿，劳动者可以按照以下步骤维护自己的权益：
- 收集证据：包括劳动合同、工资单、考勤记录、辞退通知等，以证明工作年限和辞退事实。
- 与公司协商：尝试与公司协商解决，要求支付应得的经济补偿或赔偿。
- 申请劳动仲裁：如果协商无果，可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
- 提起诉讼：如果对劳动仲裁结果不服，还可以向人民法院提起诉讼，进一步维护自己的合法权益。
综上所述，入职半个月被公司辞退的劳动者，应根据公司辞退的理由和具体情况来判断是否可以申请经济补偿或赔偿以及具体的补偿或赔偿标准。在申请过程中，劳动者应充分了解自己的权益和法律规定，并采取合适的措施来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。