涉刑退休事业编制人员能否被开除，需分情况讨论，具体如下：

1. 若退休人员尚未开始领取养老金，且被依法追究刑事责任
   根据《事业单位工作人员处分暂行规定》第二十二条，事业单位工作人员被依法判处刑罚的，给予降低岗位等级或者撤职以上处分。其中，被依法判处有期徒刑以上刑罚的，给予开除处分。若该退休人员虽已办理退休手续，但尚未开始领取养老金（如处于缓刑考验期或案件审理阶段），单位仍可依据上述规定对其作出开除处分决定，并终止其退休待遇。

2. 若退休人员已开始领取养老金，且被依法追究刑事责任
   此时需区分两种情形：

   • 单位在职时违法违纪，退休后被发现：根据《行政机关公务员处分条例》第五十二条，若违法违纪行为发生在在职期间，但退休后才被发现或查处，单位仍可给予处分。但需注意，若退休人员已领取养老金，开除处分不会直接导致养老金停发，但可能影响养老金调整或补充待遇（如职业年金）。
     
   • 退休后违法违纪：若退休人员因退休后行为（如再就业期间违法）被追究刑事责任，单位通常无权直接开除，但可依据聘用合同或管理规定解除其返聘关系。若涉及养老金问题，需由社保部门根据《社会保险法》及相关规定处理（如暂停发放养老金、追缴违规领取金额等）。

3. 特殊情形：免于刑事处罚或缓刑
   若退休人员被法院判决免于刑事处罚或适用缓刑，单位是否可开除需结合具体情节和单位规章制度。根据《事业单位工作人员处分暂行规定》，即使未被判处刑罚，但“其他严重违反公共秩序、社会公德的行为”也可能成为开除依据。例如，若其行为造成恶劣社会影响，单位可依法依规作出处理。

实务建议：

• 单位在处理时需严格遵循法定程序，包括调查取证、听取陈述申辩、作出书面决定等，避免程序违法导致处分无效。
  
• 退休人员若对开除决定不服，可依法申请复核、申诉或提起行政诉讼，维护自身权益。
  
• 涉及养老金调整或停发问题，建议及时咨询社保部门，明确具体政策依据。
  

如有进一步疑问，可直接向我咨询具体案件细节或地方性规定。