结论：家属申请误工费是否合理，需根据具体情况判断，若因照顾受伤孩子导致家属误工且能证明因果关系，则合理；其他赔付项目包括医疗费、护理费、营养费等。
详细分析：
关于误工费的合理性：
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》侵权责任编的相关规定，因侵权行为造成他人损害的，应当赔偿因此产生的合理损失。误工费属于因侵权行为导致的间接损失之一，但需满足一定条件。
- 具体条件：若受伤孩子的家属因照顾孩子而无法正常工作，且能证明这种误工与孩子受伤之间存在直接的因果关系，那么家属申请误工费是合理的。这通常需要提供医院出具的证明、家属的工资单或收入证明、单位出具的误工证明等证据。
- 特殊情况：如果受伤孩子年龄较小，通常需要家长全天候照顾，此时家长因照顾孩子而产生的误工费更有可能得到支持。但如果孩子年龄较大，能够一定程度的自理，或者有其他亲属可以协助照顾，那么误工费的申请可能会受到一定影响。
其他可能的赔付项目：
- 医疗费：这是最基本的赔付项目，包括因受伤而产生的所有医疗费用，如挂号费、检查费、治疗费、药费等。
- 护理费：如果受伤孩子需要专人护理，那么护理费也是合理的赔付项目。护理费的计算通常根据护理人员的收入状况和护理期限来确定。
- 营养费：根据受伤孩子的实际情况，如果需要加强营养以促进恢复，那么营养费也是可以考虑的赔付项目。
- 精神损害抚慰金：如果受伤孩子的伤势较重，或者对孩子的心理造成了较大影响，那么家属还可以考虑申请精神损害抚慰金。但这一项目的赔付通常较为严格，需要满足一定的条件。
建议与行动指南：
- 收集证据：家属应尽快收集与受伤孩子治疗、护理、误工等相关的所有证据，以便在后续的协商或诉讼中证明自己的损失。
- 与幼儿园协商：在收集到足够证据后，家属可以与幼儿园进行协商，尝试通过和解的方式解决纠纷。协商时，应明确提出自己的赔付要求，并说明理由和依据。
- 寻求法律帮助：如果协商无果，或者幼儿园拒绝承担责任，家属可以寻求法律帮助，通过诉讼的方式维护自己的合法权益。在此过程中，建议家属咨询专业律师，以便更好地了解自己的权利和义务，以及诉讼的可能结果和风险。
后续思考：
- 在处理此类纠纷时，除了关注赔付问题外，还应关注受伤孩子的身心健康和恢复情况。家属应积极配合医生的治疗建议，为孩子提供必要的照顾和支持。
- 同时，幼儿园也应加强安全管理，防止类似事件再次发生。这不仅可以减少纠纷的发生，还可以为孩子们提供一个更加安全、健康的学习环境。
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