小区业主侵占破坏公共绿地，综合执法部门（通常指城管部门）是有权进行管理的。以下从多个角度对此问题进行详细分析：

一、法律依据

1. 《城市绿化条例》

   • 关键条款：第二十七条明确规定，未经同意擅自占用城市绿化用地的，由城市人民政府城市绿化行政主管部门责令限期退还、恢复原状，并可以处以罚款；造成损失的，应当负赔偿责任。
   • 分析说明：公共绿地作为城市绿化的一部分，受《城市绿化条例》的严格保护。业主若未经许可擅自占用或破坏，即构成违法，城管部门（即城市绿化行政主管部门或其授权单位）有权依法进行查处。

2. 《物业管理条例》

   • 关键条款：
     • 第四十五条：对物业管理区域内违反有关治安、环保、物业装饰装修和使用等方面法律、法规规定的行为，物业服务企业应当制止，并及时向有关行政管理部门报告。有关行政管理部门在接到物业服务企业的报告后，应当依法对违法行为予以制止或者依法处理。
     • 第五十条：业主、物业服务企业不得擅自占用、挖掘物业管理区域内的道路、场地，损害业主的共同利益。因维修物业或者公共利益，业主确需临时占用、挖掘的，应当征得业主委员会和物业服务企业的同意；物业服务企业确需临时占用、挖掘的，应当征得业主委员会的同意。业主、物业服务企业应当将临时占用、挖掘的道路、场地，在约定期限内恢复原状。
   • 分析说明：业主侵占破坏公共绿地违反了物业管理的相关规定，损害了其他业主的共同利益。物业服务企业有责任制止并报告，而城管部门作为相关行政管理部门，接到报告后应依法对违法行为进行处理。

3. 《中华人民共和国民法典》

   • 关键条款：
     • 第二百七十四条：建筑区划内的绿地，除属于城镇公共绿地或明示属于个人的外，属于业主共有。
     • 第二百八十七条：业主对建设单位、物业服务企业或者其他管理人以及其他业主侵害自己合法权益的行为，有权请求其承担民事责任。
   • 分析说明：《民法典》明确了公共绿地的共有属性，业主侵占破坏公共绿地即侵犯了其他业主的共有权益。城管部门在履行职责时，可依据这些规定对侵犯共有权益的行为进行管理和处罚。

二、城管部门的管理职责与措施

1. 巡查与发现：城管部门负责城市管理的日常巡查工作，能够及时发现并制止侵占破坏公共绿地的行为。
2. 制止与纠正：对于发现的侵占破坏行为，城管人员会当场制止，并要求行为人立即停止侵害、恢复原状。
3. 行政处罚：若行为人拒不配合或情节严重，城管部门可依法进行行政处罚，如罚款等。
4. 联合执法：在必要时，城管部门会与公安、园林等相关部门开展联合执法行动，共同打击侵占破坏公共绿地的违法行为。

三、实际案例与处理流程

以某小区业主侵占公共绿地搭建违章建筑为例，处理流程通常如下：

1. 接到举报或巡查发现：城管部门接到居民举报或在巡查中发现侵占行为。
2. 现场勘查与取证：城管人员前往现场进行勘查，拍照取证，确认侵占事实。
3. 下达整改通知书：向行为人下达整改通知书，要求其限期拆除违章建筑、恢复绿地原状。
4. 复查与强制执行：若行为人未按期整改，城管部门将组织复查，并依法采取强制执行措施，如拆除违章建筑等。

四、建议与措施

1. 加强法制宣传和公德教育：提高市民的法律意识和公共道德水平，减少侵占破坏公共绿地的行为发生。
2. 物业服务企业积极履行职责：及时发现并制止侵占破坏公共绿地的行为，及时向城管部门报告，共同维护良好的居住环境。
3. 居民积极参与监督：对于发现的侵占破坏行为，及时向物业服务企业或城管部门反映，共同营造和谐宜居的社区环境。

综上所述，小区业主侵占破坏公共绿地是违法行为，城管部门有权且应当依据相关法律法规进行管理和处罚。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。