结论概述：银行卡里的钱被转走却没有收到短信通知，银行是否有责任需视具体情况而定。这主要取决于银行是否履行了其应尽的安全保障义务和通知义务，以及用户自身是否存在过错。
详细分析：
银行的安全保障义务：
- 银行作为金融机构，有义务保障客户资金的安全。这包括采取必要的技术措施和管理措施，防止客户资金被非法盗取或转移。
- 如果银行未能履行这一义务，导致客户资金被非法转走，那么银行可能需要承担相应的赔偿责任。
银行的通知义务：
- 银行通常与客户约定，在资金发生变动时通过短信或其他方式通知客户。这是银行履行其服务合同的一部分。
- 如果银行未能按照约定发送通知，且这一未能发送通知的行为与客户资金被转走之间存在因果关系（即如果银行发送了通知，客户可能及时发现并阻止资金被转走），那么银行可能需要承担一定的责任。
- 但需注意：如果银行能够证明其已经按照约定发送了通知，而客户由于自身原因（如手机关机、信号不好、短信拦截等）未能收到，那么银行通常不承担责任。
用户自身的过错：
- 如果客户自身存在过错，如泄露了银行卡密码、将银行卡借给他人使用、未妥善保管手机等，导致资金被转走，那么客户可能需要自行承担部分或全部责任。
- 在这种情况下，即使银行未能发送通知，也可能因客户自身的过错而减轻或免除银行的责任。
法律建议：
- 及时与银行沟通：如果发现银行卡里的钱被转走却没有收到短信通知，应立即与银行联系，了解资金被转走的具体情况，并要求银行提供相关的交易记录和通知记录。
- 保留证据：保存好与银行的沟通记录、交易记录、短信通知记录（如果有的话）等证据，以便在需要时证明自己的权益。
- 考虑报警：如果怀疑资金被非法盗取或转移，应及时向公安机关报案，以便追回损失并追究犯罪者的法律责任。
- 咨询专业律师：如果与银行沟通无果或认为银行存在过错，可以咨询专业律师，了解自己的法律权益和可能的维权途径。
可能后果：
- 如果银行被认定存在过错，可能需要承担赔偿责任，赔偿客户因此遭受的损失。
- 如果客户自身存在过错，可能需要自行承担部分或全部损失，并可能面临因泄露银行卡信息等而引发的其他法律责任。
总之，银行卡里的钱被转走却没有收到短信通知时，银行是否有责任需根据具体情况来判断。建议用户及时与银行沟通、保留证据、考虑报警并咨询专业律师以维护自己的合法权益。