结论：作为私人医院护士，因医院经营不善被裁员，您有权获得相应的经济补偿。具体赔偿金额和方式需根据您的实际工作年限、工资水平以及医院是否依法进行裁员程序来确定。
一、经济补偿的计算
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位因经营不善需要裁员的，应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿的计算方式如下：
计算公式：
- 经济补偿 = 工作年限 × 月工资
- 其中，工作年限是指您在该医院工作的实际年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资是指您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资，包括计时工资或者计件工资以及奖金、津贴和补贴等货币性收入。
示例：
- 假设您在该医院工作了3年，月工资为5000元，那么您应获得的经济补偿为：3年 × 5000元/年 = 15000元。
二、裁员程序的合法性
除了经济补偿外，您还需要关注医院裁员程序的合法性。根据《劳动合同法》的规定，用人单位裁员应当提前三十日向工会或者全体职工说明情况，听取工会或者职工的意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告，才可以裁减人员。如果医院未依法履行这些程序，您有权向劳动行政部门投诉，并可能获得额外的赔偿或恢复劳动关系。
三、其他可能的赔偿
未提前通知的赔偿：
- 如果医院未提前三十日通知您裁员，您有权要求医院支付一个月工资的代通知金。
违法裁员的赔偿：
- 如果医院裁员行为被认定为违法（如未依法履行裁员程序、未支付经济补偿等），您有权要求医院支付赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿的两倍。
四、建议行动
收集证据：
- 保留好您的劳动合同、工资单、工作证明等证据，以便在需要时证明您的工作年限和工资水平。
与医院协商：
- 尝试与医院协商解决赔偿问题，如果协商不成，您可以考虑向劳动仲裁机构申请仲裁。
申请劳动仲裁：
- 如果您与医院无法就赔偿问题达成一致，您可以向当地的劳动仲裁机构申请仲裁，要求医院支付经济补偿和其他可能的赔偿。
五、注意事项
- 在整个过程中，保持冷静和理性，避免与医院发生不必要的冲突。
- 如有需要，及时咨询专业律师（即我本人，张泽夫律师，专注于婚姻家庭、刑事辩护、经济纠纷、劳动纠纷领域），以获取更具体的法律建议和帮助。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。