结论前置：在案件进入执行程序后，当事人仍然有权申请再审，且申请执行与申请再审并不冲突。但申请再审并不必然导致原审判决的改变，需严格遵循法律规定的条件和程序。
一、法律依据与申请再审的条件
根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，如认为存在错误，均有权向上一级人民法院申请再审。这一权利并不因案件已进入执行程序而丧失。申请再审需满足以下条件之一：
- 有新的证据：足以推翻原判决、裁定的新证据，且该新证据是在原审庭审结束前已客观存在，但因客观原因无法发现或取得的。
- 原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明：即原判决、裁定所依据的主要证据不足，导致认定事实不清或错误。
- 原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的：证据的真实性存在问题，如伪造、变造等。
- 原判决、裁定适用法律确有错误：法律适用不当，导致裁判结果错误。
- 违反法律规定的诉讼程序：可能影响公正审判的，如未经传票传唤缺席判决、遗漏必须参加诉讼的当事人等。
- 审判人员存在违法违纪行为：如贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等，影响裁判的公正性。
二、申请执行与申请再审的关系
- 并行不悖：申请执行是基于生效法律文书所确定的义务未得到履行时，权利人向法院请求强制实现其权益的程序。而申请再审则是针对生效裁判可能存在的错误，寻求法院重新审理的救济途径。两者在法律上并无冲突，可同时进行。
- 执行不停歇：一般情况下，当事人提出再审申请并不会影响原判决、裁定的执行。即，即便再审程序启动，除非再审法院作出特别裁定，否则原执行程序将继续进行。
三、再审对执行的影响及特定情形
- 中止执行的例外：若再审法院经审查决定再审，并认为有必要中止原判决、裁定、调解书的执行，将作出相应裁定。但涉及追索赡养费、扶养费、抚育费、抚恤金、医疗费用、劳动报酬等民生类案件，为保障基本生活需求，即使再审程序启动，执行也可能不被中止。
- 再审结果的不确定性：申请再审并不意味着原审判决一定会被改变。再审程序需严格遵守法定条件与程序，且申请人需提供充分证据以证明原审判决存在错误。
四、实例说明与操作建议
以合同纠纷为例，假设法院判决后，败诉方未按判决履行义务，胜诉方遂申请强制执行。在执行过程中，若败诉方发现了新证据，足以推翻原判决，此时败诉方完全有权利依法申请再审。同时，除非再审法院作出特别裁定，否则原执行程序将继续进行。
操作建议：
- 及时行使权利：当事人应在规定的期限内提出再审申请，逾期则可能丧失申请再审的权利。根据法律规定，当事人申请再审，应当在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出。有特定情形的（如发现新的证据、原判决认定事实的主要证据是伪造的等），自知道或者应当知道之日起六个月内提出。
- 提供充分证据：申请再审时，应提供充分的证据支持自己的主张，否则可能面临被驳回的风险。
- 遵守诉讼程序：在申请再审过程中，当事人应遵守诉讼程序，配合法院的审查工作。
综上所述，申请执行后仍可申请再审，但需注意再审程序的法定性与结果的不确定性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。