可以上诉，但在此之前建议先尝试通过协商、调解等非诉讼方式解决纠纷，若无法解决再考虑通过法律途径维权。以下从不同角度为你详细分析：
一、法律角度
- 侵权责任认定：根据《中华人民共和国民法典》侵权责任编的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。司机驾驶车辆撞到小狗，如果司机存在过错（如未遵守交通规则、未注意观察路况等），那么司机就构成了侵权，应当对小狗的损失进行赔偿。小狗作为主人的财产，其受到的损害有权得到法律保护。
- 上诉的法律依据：如果与司机协商赔偿无果，你可以选择向法院提起诉讼。在诉讼过程中，你需要提供充分的证据来证明司机的过错以及小狗的损失情况。如果法院判决司机承担赔偿责任，但司机仍然不愿意履行判决，那么你可以在法定期限内（一般为判决书送达之日起十五日内）向上一级人民法院提起上诉，请求上级法院对案件进行重新审理。
二、实际操作角度
- 收集证据：在考虑上诉之前，你需要收集足够的证据来支持你的主张。这些证据可以包括现场照片、视频、证人证言、小狗的购买凭证或价值评估报告等。这些证据将有助于证明司机的过错以及小狗的实际损失。
- 协商与调解：在提起诉讼之前，你可以尝试与司机进行协商，看是否能够达成赔偿协议。如果协商无果，你也可以寻求第三方调解机构的帮助，如社区调解委员会、人民调解委员会等。这些机构可以提供中立的调解服务，帮助双方达成和解。
- 诉讼流程：如果协商和调解都无法解决问题，你可以向法院提起诉讼。在诉讼过程中，你需要按照法院的要求提交起诉状、证据材料等，并参加庭审。如果法院判决你胜诉，但司机仍然不愿意履行判决，你可以申请强制执行。
三、注意事项
- 诉讼成本：提起诉讼需要支付一定的诉讼费用，包括案件受理费、律师费等。在决定提起诉讼之前，你需要考虑这些成本是否在你的承受范围之内。
- 诉讼风险：诉讼过程中存在不确定性，即使你提供了充分的证据，法院也可能因为各种原因（如证据不足、法律适用问题等）作出不利于你的判决。因此，在提起诉讼之前，你需要充分评估诉讼风险。
- 上诉期限：如果你对一审判决不服，需要在法定期限内提起上诉。逾期未提起上诉的，一审判决将发生法律效力，你将失去上诉的权利。
建议：在处理此类纠纷时，建议先尝试通过协商、调解等非诉讼方式解决。如果无法解决，再考虑通过法律途径维权。在提起诉讼之前，务必收集充分的证据，并充分评估诉讼成本和风险。如果你在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的帮助，可以直接向我咨询。