结论前置：一般情况下，您不可以直接起诉对方车辆的保险公司理赔，但在特定情形下存在例外。以下为您详细分析：

1. 通常情况不能直接起诉保险公司
   • 从法律关系角度来看，交通事故中您与对方车辆驾驶者之间形成了侵权法律关系。当您的狗被撞，对方车辆驾驶者因过错侵害了您的财产权益，您应当基于侵权责任向对方车辆驾驶者主张赔偿。而对方车辆的保险公司与您之间并没有直接的合同关系，其与投保人（对方车辆驾驶者）之间存在保险合同关系。根据合同的相对性原则，保险合同只在合同双方当事人之间产生约束力，所以您不能直接依据保险合同起诉保险公司要求理赔。
   • 在交通事故赔偿的常规处理流程中，通常是先由对方车辆驾驶者根据其责任大小对您进行赔偿。如果对方车辆购买了相应的保险，对方车辆驾驶者在赔偿您后，可以依据保险合同向保险公司申请理赔，将部分或全部赔偿责任转嫁给保险公司。
2. 特定情形下可以直接起诉保险公司
   • 交强险范围内的特殊规定：根据《机动车交通事故责任强制保险条例》以及相关司法解释，在道路交通事故损害赔偿案件中，如果肇事车辆同时投保了机动车第三者责任强制保险（交强险）和第三者责任商业保险（商业三者险），当事人请求保险公司在交强险责任限额范围内予以赔偿的，人民法院应予支持。也就是说，在交强险赔偿范围内，您可以直接将保险公司作为共同被告起诉，要求其在交强险责任限额内对您的损失进行赔偿。交强险有责任赔偿限额，其中财产损失赔偿限额为2000元。如果您的狗的价值等损失在这个限额内，您可以直接起诉保险公司要求赔偿。
   • 商业三者险中保险公司明确表示愿意直接赔付：虽然商业三者险合同是保险公司与投保人之间的合同，但如果保险公司明确表示愿意直接向您赔付，那么您也可以直接起诉保险公司要求其按照约定进行赔偿。不过这种情况相对较少，需要保险公司出具明确的书面承诺等相关证据来支持。

建议：在处理此类事件时，您首先应当收集好相关证据，如事故现场照片、视频、证人证言等，以证明对方车辆驾驶者存在过错以及您的狗的损失情况。然后可以先尝试与对方车辆驾驶者协商赔偿事宜，如果协商不成，再考虑通过法律途径解决。如果您打算起诉，在涉及交强险赔偿范围内可以将保险公司列为共同被告。如果您在这个过程中有任何疑问，都可以直接向我咨询。