面对独居在家去世一天才发现的这种情况，家属首先需要保持冷静，并按照以下步骤来处理后续事宜：
一、立即联系相关部门签发《居民死亡医学证明(推断)书》（《死亡证》）
确定签发部门：
- 如果逝者是年老而终或因病去世，家属应联系居住地的社区卫生服务中心来签发《死亡证》。
- 如果逝者是意外身亡或无法判断死因，家属应立即拨打“110”向公安部门报警，并由公安部门介入处理，可能涉及法医鉴定等程序。
准备申请材料：
- 人口死亡申报单（在社区卫生机构领取并填写）。
- 逝者有效的身份证件原件及复印件（如身份证、户口本等；新生儿死亡的，可提交出生证明或母亲生育证、产检病例等佐证材料代替）。
- 申办人（即家属）有效身份证件的原件及复印件。
- 逝者生前病历、健康体检、居民健康档案等材料（在医院内死亡可免提交；在养老机构内死亡的，须提供相关死亡报告书）。
- 若已报警，且公安机关排除非正常死亡，应提供派出所出具的《公安机关部门涉尸事(案)件调查表》。
二、处理逝者遗体
联系殡仪馆：
- 在获得《死亡证》后，家属应尽快联系当地的殡仪馆，安排逝者的遗体接运、火化或埋葬等事宜。
遵循当地习俗和法规：
- 在处理逝者遗体的过程中，家属应遵循当地的习俗和法规，确保一切手续合法合规。
三、后续事宜处理
通知亲友：
- 家属应及时通知其他亲友，告知逝者去世的消息，并协商后续的丧葬事宜。
处理遗产和债务：
- 如果逝者留有遗产或债务，家属应按照相关法律法规进行处理，必要时可寻求法律援助。
关注心理健康：
- 面对亲人的突然离世，家属可能会经历巨大的心理创伤。因此，建议家属关注自己的心理健康，必要时可寻求心理咨询师的帮助。
四、预防类似情况再次发生
加强独居者的社会联系：
- 对于独居者，家属和社会应加强关注，鼓励他们参与社交活动，建立更多的社会联系，以减少孤独和社会孤立的风险。
建立紧急联系机制：
- 独居者可以与亲友或邻居建立紧急联系机制，如定期通话、设置紧急联系人等，以便在发生意外时能够及时得到帮助。
考虑安装安全设备：
- 独居者可以考虑在家中安装安全设备，如烟雾报警器、紧急呼叫按钮等，以提高居住安全性。
总之，面对独居在家去世的情况，家属需要保持冷静，按照相关法律法规和程序来处理后续事宜，并关注自己的心理健康。同时，社会也应加强对独居者的关注和帮助，以减少类似情况的发生。