可以要求房东开发票，无论是否签订租房合同。以下从不同角度为你详细分析：

1. 从发票管理法规角度
   根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条规定：“销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。”
   在租房场景中，房东将房屋出租给你并收取租金，属于提供服务并收取款项的经营活动，因此房东有义务向你开具发票。这一义务并不以是否签订书面租房合同为前提，只要存在实际的租房交易和租金支付行为，房东就应当履行开票义务。

2. 从税务合规角度
   房东收取租金后，需要按照税法规定申报纳税。开具发票是房东履行纳税义务的重要环节，也是税务机关监管租金收入的重要依据。如果房东不开发票，可能存在隐瞒收入、偷逃税款的嫌疑。
   作为租客，你要求房东开发票，不仅是对自身权益的保护，也是协助税务机关维护税收秩序的合法行为。如果房东拒绝开票，你可以向当地税务机关举报，税务机关会依法对房东进行处理。

3. 从租客权益保护角度
   发票是证明你支付租金的重要凭证。在租房过程中，如果发生纠纷（如房东要求提前解约、不退还押金等），发票可以作为你已履行付款义务的证据，帮助你维护自身合法权益。
   此外，如果你需要报销租金费用（如因工作需要租房），发票也是必不可少的报销凭证。没有发票，你可能无法获得相应的报销，造成经济损失。

建议：

• 如果房东拒绝开发票，你可以明确告知其开票是法定义务，并要求其提供发票。
  
• 如果房东仍拒绝，你可以向当地税务机关举报（举报电话：12366），税务机关会介入调查并督促房东开票。
  
• 在今后的租房过程中，建议你在支付租金时要求房东开具发票，并将发票妥善保存，以备不时之需。
  

如果你还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。