核心结论：没有发票的外请专家费在法律上缺乏直接支持，可能面临税务、财务合规及法律风险，但可通过补救措施降低风险。

1. 税务合规角度

根据《中华人民共和国发票管理办法》及税法规定，发票是税前扣除的法定凭证。企业支付外请专家费若未取得发票，可能导致：

• 无法税前扣除：企业所得税前扣除需以合法有效凭证（如发票）为依据，无发票可能被税务机关调增应纳税所得额，补缴企业所得税及滞纳金。
• 个人所得税风险：若专家为个人且未申报纳税，支付方可能被认定为未履行代扣代缴义务，面临罚款（如《税收征收管理法》第六十九条）。

补救措施：

• 立即联系专家补开发票，或通过税务机关代开发票（需提供合同、付款凭证等）。
  
• 若专家拒绝配合，可留存付款记录、合同、专家身份证明等证据，向税务机关说明情况，但风险仍存在。

2. 财务合规角度

根据《企业会计准则》及《会计法》，费用支出需真实、合法且附完整凭证。无发票的专家费可能被认定为：

• 不合规支出：审计时可能被要求调整账目，甚至被认定为“小金库”或利益输送。
  
• 内部控制缺陷：反映企业财务管理漏洞，可能引发监管关注或股东质疑。

补救措施：

• 完善内部审批流程，要求专家签署服务协议并明确发票开具义务。
  
• 对历史支出进行自查，通过其他凭证（如银行转账记录、专家签收单）辅助证明费用真实性，但效力低于发票。

3. 法律风险角度

若专家费涉及商业贿赂或利益输送（如通过个人账户支付且无合理事由），可能触发：

• 《反不正当竞争法》：禁止商业贿赂，无发票的现金支付可能被推定为“账外暗中”给予回扣。
  
• 《刑法》：若金额巨大且构成行贿罪，支付方可能承担刑事责任。

补救措施：

• 确保费用支付与专家服务内容匹配（如提供服务报告、会议记录等）。
  
• 避免通过个人账户支付大额费用，优先使用对公转账并备注用途。

4. 特殊情形处理

• 境外专家：若专家为境外居民且无中国境内纳税义务，可凭合同、付款记录及完税证明（如境外纳税凭证）替代发票，但需符合税务机关要求。
  
• 小额零星支出：根据国家税务总局公告，单次500元以下的个人劳务支出，可凭收款凭证及内部凭证（如服务描述、专家身份证复印件）税前扣除，但需满足“偶然发生”且“非经常性”条件。

建议：

1. 立即梳理历史无发票支出，评估税务及法律风险。
   
2. 完善合同条款，明确发票开具时间、类型（如增值税专用发票）及违约责任。
   
3. 对未来支出，优先选择能提供发票的合作方，或通过税务机关代开合规凭证。
   

如有具体案例或金额，可进一步提供细节以便针对性分析。