结论：前公司是否需要赔偿，取决于多种因素，包括合同到期后的处理方式、员工与前后公司的关系以及是否存在违法解除劳动合同等情形。以下从不同角度进行分析：

一、合同到期后的正常处理

1. 合同到期终止：如果前公司与员工的劳动合同到期，且双方未续签，那么合同自然终止。在此情况下，前公司无需支付经济补偿金（除非存在法定应支付经济补偿金的情形，如因用人单位原因未续签等），因为这是合同到期的正常结果。

2. 员工被后公司留用：若员工在合同到期后被后公司留用，这通常意味着员工与前公司的劳动关系已经终止，并与后公司建立了新的劳动关系。这种情况下，前公司同样无需因为员工被后公司留用而支付赔偿。

二、可能涉及赔偿的情形

1. 违法解除劳动合同：如果前公司在合同到期前或到期时，以非法理由（如歧视、报复等）解除与员工的劳动合同，那么员工有权要求前公司支付违法解除劳动合同的赔偿金。赔偿金的标准通常是经济补偿金的两倍。但这一情形与员工是否被后公司留用无直接关系，而是取决于前公司解除劳动合同的合法性。

2. 未支付经济补偿金：如果前公司与员工的劳动合同到期终止，且存在法定应支付经济补偿金的情形（如因用人单位原因未续签、用人单位提出降低条件续签而员工拒绝等），但前公司未支付，那么员工有权要求前公司支付。然而，这同样与员工是否被后公司留用无关。

3. 未履行告知义务：如果前公司在合同到期前未依法履行告知义务（如未提前通知员工合同到期、未告知员工续签或终止合同的相关权利等），虽然这不一定直接导致赔偿，但可能影响前公司在劳动争议中的法律地位。不过，这一情形也通常不直接涉及员工被后公司留用的问题。

三、特殊情况考虑

• 关联企业间的员工调动：如果前公司和后公司是关联企业，且员工在前公司合同到期后被安排到后公司工作，这可能涉及员工劳动关系的连续计算问题。在这种情况下，如果前公司未依法处理员工的劳动关系（如未支付经济补偿金、未办理离职手续等），可能会引发劳动争议。但具体是否需要赔偿，还需根据员工与前后公司的实际关系、调动过程中的具体操作等因素综合判断。

建议：

• 对于前公司而言，应确保在合同到期时依法处理与员工的劳动关系，包括支付应支付的经济补偿金（如有）、办理离职手续等，以避免不必要的劳动争议。
• 对于员工而言，如果认为前公司在合同到期时的处理存在违法行为或未履行相关义务，可以依法向前公司主张权利，包括要求支付赔偿金、经济补偿金等。
• 如果涉及关联企业间的员工调动，建议前公司、后公司和员工三方共同明确调动过程中的权利义务关系，以避免后续争议。

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