虚开发票时，税务机关主要会找直接负责的主管人员和其他直接责任人员，具体包括开票方、受票方的相关责任人，以及可能涉及的中介机构或个人（如有）。以下从不同主体角度详细分析：

1. 开票方
   虚开发票的核心行为是开票方在没有真实交易的情况下开具发票，或开具与实际交易不符的发票。税务机关会首先调查开票方的法定代表人、财务负责人、直接开票人员等。例如，若A公司为B公司虚开发票，A公司的法定代表人、财务总监、具体操作开票的员工均可能被税务机关追责。

2. 受票方
   受票方若明知发票是虚开的仍接受并用于抵扣税款、成本列支等，也会成为税务机关的调查对象。税务机关会重点核查受票方的采购负责人、财务人员等。例如，B公司明知A公司虚开发票仍接受并抵扣，B公司的采购经理、财务总监可能被追责。

3. 中介机构或个人
   若虚开发票行为涉及中介（如代开发票公司、财务代理机构）或个人（如“票贩子”），税务机关也会对其展开调查。例如，C个人长期从事虚开发票中介活动，税务机关会直接追究其责任。

法律依据与后果：
根据《中华人民共和国税收征收管理法》第六十三条，虚开发票属于偷税行为，税务机关会追缴税款、加收滞纳金，并处不缴或少缴税款50%至5倍的罚款；构成犯罪的，依法追究刑事责任（《刑法》第二百零五条）。
建议：
若您或您所在的企业涉及虚开发票问题，需立即停止相关行为，并主动配合税务机关调查，如实说明情况。若已收到税务机关的通知，建议尽快整理相关交易资料（如合同、付款凭证等），以便在调查中证明交易真实性（如有）。如有疑问，可直接向我咨询具体应对方案。