仲裁裁决书下来后，15天的计算起始日是从当事人收到仲裁裁决书的次日开始计算。以下是对此问题的详细解释：

一、计算起始日的确定

1. 明确起始：根据相关法律规定及实践操作，仲裁裁决书的15天期限（无论是履行期还是起诉期）均从当事人实际收到仲裁裁决书的次日开始计算。例如，若当事人在6月1日签收仲裁裁决书，则6月2日为计算15天期限的第一天。

二、计算期间与方式

1. 自然日计算：这15天是连续计算的自然日，包括周末，但不包括法定节假日。如从6月2日开始计算，则至6月16日（假设期间无法定节假日）满15天。

2. 到期日确定：若15天的最后一天恰逢法定节假日（含周末调休的节假日），则截止日期顺延至法定节假日后的第一个工作日。例如，若第15天为10月1日国庆节，且国庆节放假至10月7日，则截止日为10月8日。

三、具体计算公式（以自然日为例）

若以\(D\)表示收到仲裁裁决书的日期，\(D+1\)表示计算起始日，\(N\)表示15天期限内的任意一天，\(E\)表示期限届满日，则计算公式可以表示为：

\(E = D + 1 + 14\) （若期间无法定节假日）

若期间有法定节假日，则需根据节假日情况顺延\(E\)的日期。

示例：

• 假设仲裁裁决书于2024年3月1日送达，则从3月2日开始计算15天期限。
• 若3月16日为周六（非法定节假日，但为周末），在仅考虑周末的情况下（实际中若周末不涉及调休为法定节假日则不顺延），若按严格自然日且此例中不特别因周末顺延（因未明确说明包含周末需顺延的普遍规则，通常节假日指法定），则至3月16日（若不考虑周末非工作日影响，仅作日期数计算）为理论上的第15天（实际操作中需看具体规定是否因周末顺延，此处按基本自然日逻辑说明），但更常见的理解是连续计算中若最后一天非工作日则顺延至下一个工作日（此处理解为包含周末的连续计算下，若最后一天周末则顺延的情境说明），若3月16日周六为期限最后一天且为周末，则顺延至下周一（如3月18日，假设3月17日周日，18日周一）为实际届满日。若期间无法定节假日且不因周末顺延（严格按日期数），则3月2日至3月16日为15天。
• 更明确无节假日示例：若裁决书于2024年3月4日送达，从3月5日开始计算，至3月19日满15天（期间无节假日）。

四、法律效力与执行

1. 即时生效：仲裁裁决书自作出之日起即发生法律效力，对双方当事人具有法律约束力。因此，当事人应尽快按裁决书内容执行，以避免潜在法律纠纷。

2. 权利救济途径：

   • 在收到裁决书后的15天内，若当事人对裁决不服且在符合法律规定的情况下，有权向人民法院提起诉讼。
   • 仲裁实行一裁终局制度。裁决作出后，当事人就同一纠纷再申请仲裁或起诉的，仲裁委员会或人民法院将不予受理。但裁决被法院依法裁定撤销或不予执行的除外，此时当事人可根据双方重新达成的仲裁协议再次申请仲裁，或直接向人民法院起诉。

五、重要注意事项

1. 严格遵守期限：当事人应严格遵守15天的计算规定，以确保自身权益得到及时保障。逾期未行使权利或未履行义务，可能面临不利的法律后果。

2. 保留证据：在整个过程中，当事人应妥善保管相关证据材料，如仲裁裁决书、送达回证等，以备不时之需。

3. 及时咨询：若对仲裁裁决书的内容或15天的计算方式有疑问，建议及时咨询专业律师，以避免因误解或疏忽而丧失权利救济的机会。

综上所述，仲裁裁决书下来后的15天计算是一个既明确又关键的法律程序。当事人应充分了解并严格遵守相关规定，以维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。