结论：市场监管局是否会处理顾客购买半年后因烧水壶导致的烫伤事件，取决于多个因素，包括产品是否存在质量问题、是否在保修期内、是否有明确的证据表明烫伤与产品质量直接相关等。以下从不同角度进行分析：

1. 产品质量问题与市场监管局的职责：

   • 市场监管局主要负责监管市场上的产品质量，确保产品符合相关安全标准。如果顾客能够证明烫伤是由于烧水壶本身的质量问题（如设计缺陷、制造瑕疵等）导致的，那么市场监管局有责任对此进行调查。
   • 然而，市场监管局的介入通常需要有一定的证据支持，如产品检测报告、专家鉴定意见等，以证明产品确实存在质量问题。

2. 保修期与责任归属：

   • 烧水壶的保修期是判断责任归属的重要因素。如果烫伤发生在保修期内，且能够证明是产品质量问题导致的，那么生产商或销售商通常需要承担相应的责任。
   • 如果烫伤发生在保修期外，顾客仍然可以尝试通过法律途径追究生产商或销售商的责任，但需要提供更充分的证据来证明产品质量问题与烫伤之间的直接因果关系。

3. 证据收集与法律程序：

   • 顾客在寻求市场监管局帮助或提起法律诉讼前，应尽可能收集相关证据，如购买凭证、产品照片、医疗记录、专家鉴定意见等。
   • 如果市场监管局决定介入调查，他们可能会要求顾客提供这些证据，并可能进行产品检测或专家鉴定。
   • 如果顾客决定提起法律诉讼，这些证据将对于证明产品质量问题与烫伤之间的因果关系至关重要。

4. 可能的法律后果：

   • 如果市场监管局调查后认定产品存在质量问题，他们可能会要求生产商或销售商采取召回、修理、更换或赔偿等措施。
   • 如果顾客提起法律诉讼并胜诉，法院可能会判决生产商或销售商承担医疗费用、误工费、精神损害赔偿等费用。

建议：

• 顾客应尽快收集相关证据，并考虑向市场监管局投诉或咨询专业律师以了解具体的法律程序和可能的法律后果。
• 如果烫伤严重或涉及较大金额的赔偿，建议顾客寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到充分保护。

进一步思考：

• 在此类事件中，预防同样重要。生产商和销售商应加强产品质量控制，确保产品符合相关安全标准，以减少类似事件的发生。
• 顾客在购买产品时也应仔细阅读产品说明书和保修条款，了解产品的性能和保修范围，以便在出现问题时能够及时维护自己的权益。