结论：在劳动关系建立过程中，签订劳动合同的主要责任在于用人单位，劳动者并无明确的法律义务主动提醒用人单位签订劳动合同。不过，为了保护自身权益，劳动者可以积极关注并催促用人单位完成劳动合同的签订。
详细分析如下：
用人单位的签约义务：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。这是用人单位的法律义务，不因劳动者未提出或不愿意签订而免除。
- 具体而言，已建立劳动关系但未同时订立书面劳动合同的，用人单位应当自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。若用人单位未履行此义务，将面临法律责任：超过一个月不满一年未签订的，需向劳动者每月支付二倍的工资；自用工之日起满一年仍未签订的，则视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。
劳动者的权利与配合义务：
- 知情权：劳动者在签订劳动合同时，有权了解劳动合同的内容，包括但不限于工作内容、工作条件、工作地点、职业危害、安全生产状况及劳动报酬等。这是保障劳动者合法权益的重要前提。
- 如实说明义务：劳动者在签订劳动合同时，应如实说明与劳动合同直接相关的基本情况，如个人身份信息、教育背景、工作经历等，以确保劳动合同的准确性和有效性。
- 配合签订：虽然劳动者没有法律义务主动提醒用人单位签订劳动合同，但在实际操作中，为了维护自身权益，劳动者应积极配合用人单位完成劳动合同的签订流程，包括提供必要的个人信息、签署相关文件等。
劳动者的自我保护措施：
- 若用人单位拒绝或拖延签订劳动合同，劳动者可依法采取以下措施保护自己的合法权益：
- 主动沟通：劳动者可与用人单位进行沟通，明确表达要求签订劳动合同的意愿，并了解具体原因和解决方案。
- 向劳动监察部门投诉：若沟通无果，劳动者可向当地劳动监察部门投诉，请求其介入调查并督促用人单位履行签约义务。
- 寻求法律途径：在必要时，劳动者可通过法律途径维护自己的权益，比如申请劳动仲裁或提起诉讼。
建议：
- 作为劳动者，虽然法律上没有明确要求你主动提醒用人单位签订劳动合同，但为了保护自己的合法权益，建议你积极关注劳动合同的签订情况，并在必要时催促用人单位完成签订。
- 如果用人单位拒绝或拖延签订劳动合同，不要害怕或妥协，你可以通过沟通、投诉或法律途径来维护自己的权益。
示例：
假设你是一名新入职的员工，用人单位在入职后一个月内没有与你签订劳动合同。这时，你可以主动与用人单位沟通，询问为何尚未签订劳动合同，并表达你希望尽快签订的意愿。如果用人单位以各种理由拖延或拒绝签订，你可以向当地劳动监察部门投诉，或者咨询我，了解具体的法律途径和维权方法。
总之，签订劳动合同是用人单位的法律义务，劳动者应积极关注并配合完成签订过程，以保护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。