结论：拒不履行判决书上规定的赡养费，一般不直接构成遗弃罪，但可能涉及其他法律责任。下面我将从多个角度为你详细分析。
一、遗弃罪的构成要件
遗弃罪，是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。其构成要件主要包括：
- 主体：必须是负有扶养义务的人，如父母对子女、子女对父母等。
- 主观方面：必须是故意，即明知自己有扶养义务而拒绝扶养。
- 客体：是被扶养人的人身权和扶养人的扶养义务。
- 客观方面：表现为对年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，应当扶养而拒不扶养，情节恶劣的行为。
二、拒不履行赡养费与遗弃罪的关系
不直接构成遗弃罪：
- 拒不履行判决书上规定的赡养费，虽然体现了对扶养义务的拒绝，但并不一定直接构成遗弃罪。因为遗弃罪的构成还需要满足“情节恶劣”这一条件，如导致被扶养人生活无着、流离失所、患病无钱医治等严重后果。
- 仅仅拒不支付赡养费，如果没有造成上述严重后果，或者情节不够恶劣，通常不会被认定为遗弃罪。
可能涉及其他法律责任：
- 民事责任：拒不履行判决书上规定的赡养费，可能面临法院的强制执行措施，如冻结银行账户、查封财产等。同时，还可能被处以罚款、拘留等处罚。
- 行政责任：如果拒不履行赡养义务的行为违反了相关行政法规，如《中华人民共和国老年人权益保障法》等，还可能面临行政处罚。
- 刑事责任（非遗弃罪）：在极端情况下，如果拒不履行赡养义务的行为导致了严重后果，如被扶养人因缺乏基本生活条件而死亡或重伤等，虽然不构成遗弃罪，但可能构成其他犯罪，如故意杀人罪（间接故意）或过失致人死亡罪等。不过，这种情况非常罕见，且需要具体分析案件事实。
三、建议与措施
- 积极履行赡养义务：作为子女或负有扶养义务的人，应当积极履行赡养义务，按时支付赡养费，确保被扶养人的基本生活需求得到满足。
- 与被扶养人沟通协商：如果确实存在经济困难或其他原因无法按时支付赡养费，应当与被扶养人进行沟通协商，寻求解决方案。例如，可以协商减少赡养费金额、延期支付或分期支付等。
- 寻求法律援助：如果与被扶养人无法达成一致意见，或者被扶养人已经向法院提起诉讼要求支付赡养费，建议及时寻求法律援助或咨询专业律师，了解自己的权利和义务，并制定合理的应对策略。
最后，拒不履行判决书上规定的赡养费并不直接构成遗弃罪，但可能涉及其他法律责任。因此，建议积极履行赡养义务，与被扶养人沟通协商，并在必要时寻求法律援助。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。