核心结论：针对农村搬家后留下的树木伤害他人财产的情况，责任归属及处理方式需根据树木的权属、管理责任及损害原因综合判断，具体可分为以下几种情形：

1. 若树木属于原房主所有且未移交管理责任
   根据《民法典》第1257条（林木折断、倾倒损害责任），若树木因自然原因（如大风、病虫害）折断或倾倒导致他人财产损害，原房主作为所有人需承担侵权责任，除非能证明已尽到合理管理义务（如定期修剪、防治病虫害）。
   例外情形：若树木因第三人破坏（如他人砍伐、撞击）导致损害，由实际侵权人承担责任；若受害人自身存在过错（如故意攀爬树木），可减轻原房主责任。

2. 若树木已移交新房主或村委会管理

   • 移交新房主：若搬家时明确约定树木由新房主管理（如通过书面协议或口头约定），则新房主成为管理责任人，需对损害承担责任。
     
   • 移交村委会：若树木位于公共区域（如村道旁）且已移交村委会管理，则村委会需承担管理责任，但需以村委会实际接收管理为前提（如签订移交协议或村委会实际履行养护义务）。

3. 若树木属于无主物或权属不明
   根据《民法典》第1165条（一般侵权责任），若树木长期无人管理且权属无法查清，实际使用土地的人（如现土地承包人、宅基地使用人）可能被推定为管理人，需承担相应责任。
   提示：若能证明损害由不可抗力（如地震、台风）导致，可免除或减轻责任。

处理建议：

1. 固定证据：立即拍摄现场照片、视频，保留医疗记录、财产损失清单等证据，并记录目击者联系方式。
   
2. 协商解决：优先与责任方（原房主、新房主、村委会）协商赔偿，可要求书面赔偿协议并明确赔偿金额、方式。
   
3. 投诉或诉讼：若协商无果，可向当地乡镇政府或林业部门投诉，或直接向法院起诉要求赔偿（需在3年诉讼时效内提起）。
   
4. 预防措施：若您是房主，搬家前应明确树木权属及管理责任，及时修剪危险树木；若您是受害人，可要求责任方设置警示标志或采取加固措施。

温馨提示：农村树木损害案件常涉及权属争议，建议根据具体情况委托律师调查取证（如调取土地登记档案、询问证人），以更精准界定责任主体。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作流程。